calculo diferencial

LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.
Definición:
El incremento ∆x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x
= x0 a otro x = x1 de su campo devariación. Así, pues,

o bien

Formula:
Si se da un incremento ∆x a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x0 a
x = x0 + ∆x), la
función y = f (x) se verá incrementada en ∆y = f (x0 + ∆x) - f(x0) a partir del valor y = f (x0). El
cociente

Recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre
x = x0 a x = x0 + ∆x.
Pendiente
Si h  0,entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y (a + h, f (a + h)) determinan, como en la figura
6, una recta cuya pendiente es

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Gráfica:

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Fórmula y gráfica:
Como indica la figura 7, la ‘tangente’ en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas
‘secantes’, cuando h se aproxima a 0. Hastaaquí no hemos hablado nunca del ‘límite’ de rectas,
pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a, f (a)) debería ser

Figura 7.

Definición:
La función f esderivable en a si

existe.

En este caso el límite se designa por f’ (a) y recibe el nombre de derivada de f en a. (Decimos
también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominiode f.)

Tangente:
Definimos la tangente a la gráfica de f en (a, f (a)) como la recta que pasa por (a, f (a)) y tiene por
pendiente f’ (a). Esto quiere decir que la tangente en (a, f (a)) sóloestá definida si f es derivable en
a.
Para una función dada f, la derivada f’ se designa a menudo por

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No hace falta decir que las distintas partes deesta expresión carecen de todo significado cuando se
consideran separadamente; las d no son números, no pueden simplificarse, y la expresión completa
no es el cociente de otros dos números ‘df (x)’...