calculo diferencial

Bloque I:

Aplicas la diferencial en estimación de aproximaciones de variables en las
ciencias exactas sociales, naturales y administrativas.

Objetos de aprendizaje





La diferencial
Aproximación de variables
Estimación de errores



APUNTES DE CALCULO INTEGRAL

LA DIFERENCIAL

La notación para la derivada de la función

y´
en donde el símbolo
Si la derivada deincremento

y  f x  es:

dy
 f ´ x 
dx

dy
y
representa el límite del cociente
cuando x  0 .
dx
x

f x  es f ´x  para un valor específico de variable independiente x y su

x , la diferencial de la función dada se denota con el símbolo d f x  , y se define

por la expresión:

d f x   f ´ x x 
Cuando

dy
x
dx

f x   x , su derivada es f ´x  1 . Sustituyendo en la expresión ① resulta:

d x   (1)x
 dy  x

 Diferencial

de la var iable independiente

Si y  f x  , al sustituirlo en la expresión ①, resulta:

 dy  f ´x x 

dy
x
dx

La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por el incremento o
diferencial de la variable independiente (una derivada de una función en una variable esel límite del cociente del incremento de la función al incremento de la variable
independiente cuando éste tiende a cero).



APUNTES DE CALCULO INTEGRAL

EJEMPLOS
1.

Hallar la diferencial para la función

y  ax3 .

Solución

Si

y  ax3

 dy  3ax2dx
2. Calcular la diferencial de la función y  3x2  11 para x  x  dx  0.5.
Solución

Si

dy 

y  3x2  11dy 
dy 

6x
2 3x  11
2

3x
3x  11
2

dy 

dx

dy 

dx

3(5)
3(5)2  11

(0.05)

15
(0.05)
75  11
15
(0.05)
8

 dy  0.09375
Interpretación geométrica de la diferencial
Analizando el significado de la diferencial, gráficamente tenemos:

Y
tg

P´
y

c

B

P
d x  x

y=f(x)


0

A

A´

X



APUNTES DE CALCULO INTEGRAL
Seay  f x  la función dada y su diferencial (derivada) f ´ x  , que se identifica como el

valor de la derivada en

P; si el incremento de la variable independiente x  dy  PB , con

y  f x 
dy  f ´ x  dx

base en la definición de la diferencial resulta:

Recordando que el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la
pendiente de la tangente a la curvaen dicho punto, tenemos:

dy  f ´ x  dx
dy  tg  PB
Con base en la gráfica, tenemos que:

Sustituyendo, se obtiene:

dy 

tg  =

BC
PB

 Cateto opuesto
 Cateto adyacente

BC
PB
PB

 Re presenta el incremento de la ordenada
 dy  BC 
 de la tg correspondiente a dx
Si

d x representa un incremento cualquiera de la variable

Independiente

x para unpunto P x, y  de la curva y  f x  ,

tiene por derivada

dy
 f ´ x   tg .
dx

Generalmente la diferencial de la función

(dy) y el incremento (y ) no son iguales; por

ejemplo:
De la gráfica tenemos que:

(dy)  BC Incremento de la ordenada de la tg en P
(dy)  BC Incremento de la ordenada de la función de P a P´
La diferencial como aproximación del incremento
Si elincremento de la variable independiente

dx es muy pequeño, entonces dy y y son

aproximadamente iguales, es decir, según la gráfica anterior:

Si dx  PB es muy pequeño, dy  BC  y  BP´
Cuando sólo es necesario obtener un valor aproximado del incremento de la función,
calcular el valor de la diferencial será suficiente para resolver el problema.



APUNTES DE CALCULO INTEGRALEJEMPLOS

27 .

1. Calcular un valor aproximado para
Solución

y x

 La

x  25

 Por ser un valor próximo al dado

 y que tiene raíz cuadrada exacta.

dx  x  2

Sean



función representativa de

Incremento de x para tener

27

27

y  x  25  5

y

x

dy 

dx
2 x

27  y  dy

dy 

2
2

 0.2
2 25 10

27  5  0.2

Si

...