Calculo Diferencial

Unidad 2
FUNCIONES
2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCION, CODOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCION
VARIABLE
Del latín variabĭlis, una variable es aquello que varía o puede variar. Se trata de algo inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado. Este conjunto es denominado conjunto universal de la variableo universo de la variable, y cada elemento del conjunto es un valor de la variable.
Por ejemplo: x es una variable del universo {2, 4, 6, 8}. Por lo tanto, x puede tener cualquiera de dichos valores, es decir que puede ser reemplazada por cualquier número par menor a 9.
Una variable es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo, que puede ser sustituido o puede adquirir un valorcualquiera dentro de su universo. Los valores de una variable pueden definirse dentro de un rango o estar limitados por condiciones de pertenencia.
Puede hablarse de distintos tipos de variable: las variables dependientes, que son aquellas que dependen del valor que asuman otros fenómenos o variables; las variables independientes, cuyos cambios en los valores determinan cambios en los valores de otra;variables cualitativas, que expresan distintas cualidades, características o modalidades; y variables cuantitativas, que se enuncian mediante cantidades numéricas, entre otras.
FUNCION
Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.
Función real de variable real es todacorrespondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.
f : D
x f(x) = y
El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.
El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.
Al número, y, asociadopor f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego
y= f(x)
Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).
x

Conjunto inicial Conjunto final
Dominio Conjunto imagen o recorrido
El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.
D = {x / f (x)}
El recorrido es elconjunto de elementos que son imágenes.
R = {f (x) / x D}
CODOMINIO
En matemáticas, el codominio (conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el conjunto que participa en esa función, y se denota o o .
Sea la imagen de una función , entonces .
Para una función

Definida para
, o el equivalente ,
el codominio de es , pero nunca toma un valornegativo. Por lo tanto, la imagen de es el conjunto ; por ejemplo, el intervalo[0,∞).


Imagen de una función f de dominio X y codominio Y. El óvalo pequeño dentro del codominio es el rango de f.
2.2 FUNCION INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA
FUNCION INYECTIVA
En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto(imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto Y le corresponde un solo valor de X tal que, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como y . Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva funciónentonces sí se obtiene una función inyectiva.

FUNCION SUPRAYECIVA
En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".
Formalmente,

Los siguientes diagramas...