calculo diferencial

Relación transitiva

Ejemplo: Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c.
Una relación binaria  sobre un conjunto  es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Esto es:

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c secumple a R c.
La propiedad anterior se conoce como transitividad.
Ejemplos[editar]
Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación de orden "menor o igual que" vemos que es transitiva:

Así, puesto que:

En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.
Tomando de nuevo el conjunto de los númerosnaturales, y la relación divide a:

Para todo valor a, b, c numero natural: si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c
Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).
Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}.Entonces
Se cumple  y  pero no se cumple  puesto que  es subconjunto de .
Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.
Representación[editar]
Una relación binaria se puede representar como pares ordenados, mediante una matriz de adyacencia o mediante un grafo. Para el caso de una relacióntransitiva, cada una de estas representaciones tiene características especiales:
Como pares ordenados, 
Como matriz de adyacencia , la matriz es tal que 
Como grafo, cada vez que desde un nodo  se pueda llegar a otro , pasando primero por un nodo intermedio , entonces también existirá la arista .

La Propiedad de transitividad de los números reales, nos indica que si un primer número tiene unarelación con un segundo número, y que este segundo número tiene una relación con un tercero, entonces se puede deducir que el primero también tiene una relación con el tercero.
La transitividad es una de las propiedades más importantes de los números reales.
En general, la propiedad de la transitividad tiene su aplicación en dos categorías: La transitividad de la igualdad y la transitividad dela desigualdad.
De acuerdo con la transitividad de la igualdad, si dos números son equivalentes al mismo número, son equivalentes entre sí.
Transitividad de igualdad
Si a, b y c  son tres números reales y
a=b y b=c entonces a=c
La transitividad de la desigualdad trata con cuatro subpartes correspondientes a las desigualdades: mayor que, menor que, mayor o igual que y menor o igual.Transitividad de la desigualdad
Si a, b y c son tres números reales y
Si ac
Si a≥b y b≥c, entonces a≥c

Ejemplo 1. Transitividad en la vida real
Si tu eres mas alto que yo, y tu hermano es más alto que tú, puedo decir que tu hermano es más alto que yo.
Si 10 euros son más dinero que 5 euros, y 5 euros son más dinero que 1 euro, entonces 10 euros seguro que son más dinero que 1 euro.
Pueden existircasos, cuando el desarrollo de argumentos por medio de las leyes de la transitividad pueden resultar erróneos. Tales interpretaciones pueden ser consideradas como la aplicación destartalada de la propiedad de la transitividad.
Ejemplo 2. Error en leyes de transitividad
En el futbol soccer, si el equipo A le ha ganado al equipo B, y el equipo B le ha ganado al equipo C, no necesariamente debecumplirse que el equipo A le gane al equipo B.
Si A es amigo de B y B amigo es amigo de C no es esencial que A sea amigo de C
Por lo tanto, se necesita ser atentos al intentar formular argumentos con la ayuda de la propiedad de la transitividad.
La propiedad de la transitividad tiene algunas subpropiedades, las cuales incluyen:
Propiedades de la transitividad
La Inversa de cualquier relación...