Calculo diferencial

DEFINICIONES O CONCEPTOS
Cálculo diferencial
El Cálculo Diferencial, es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Unanoción estrechamente relacionada es la de Diferencial de una función.

La derivada
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en uncierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Diferencial de una función
En el campo de la matemática llamado cálculo diferencial, el diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de unafunción y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial dy queda definido por la expresión

donde es la derivada de f con respecto a x, y donde dx es una variable real adicional (de manera que dy es una función de dos variables x, y dx). La notación es tal que la expresión

donde la derivada es representada en la notación de Leibniz dy/dx, se mantiene, y es consistentecon respecto a la derivada como el cociente de diferenciales. Así se puede escribir



Funciones de varias variables
Para funciones de varias variables las condiciones de diferenciabilidad son más estrictas y requieren más condiciones a parte de la existencia de derivadas parciales. En concreto se requiere la existencia de una aproximación lineal a la función en el entorno de un punto. Dada unabase vectorial esta aproximación lineal viene dada por la matriz jacobiana:


ORIGEN
El cálculo diferencial se consolidó como disciplina matemática principalmente en los siglos XVI y XVII cuando Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642) y Newton (1642-1727) entre otros, intentaron describir la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento, aunque ya en la antigüedad griega Arquímedes habíaplanteado la versión geométrica de ese problema de mecánica cual es el problema de la recta tangente a una curva en un punto. Mediante el uso de razones de cambio fue posible calcular velocidades y aceleraciones y definir la recta tangente a una curva pero también resolver problemas de tipo práctico como por ejemplo, determinar cuando dos planetas estarían mas cercanos o mas lejanos entre sí. Conel paso del tiempo las posibilidades de aplicación del cálculo se han ampliado.
DESARERROLLO HISTORICO
Leucipo, Demócrito y Antifon hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. El método se llama exhaustivo ya que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más del área requerida.
Arquímedesconstruyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas
A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ...
El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:
A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A.
Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento convelocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia.El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad, la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica.
Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un...