calculo diferencial

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Teorema de Rolle y Teorema del Valor medio
Teorema de Rolle:
Si f es una función en la que se cumple:
(i) f escontinua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
(iii) f (a) = 0 y f (b) = 0
Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que
f '(c) = 0El Teorema de Rolle se atribuye al matemático francés Michel Rolle (1652-1719).
En la figura de la derecha se ilustra la
interpretación geométrica del Teorema de
Rolle. Como se puede observar secumplen las
tres condiciones que requiere el Teorema: f es
continua en [a, b] e integrable en (a, b), y
f (a) = f (b) = 0. También se puede observar el
punto (cuya abscisa es c) donde la rectatangente a la gráfica de f es paralela al ejex, es
decir donde se cumple que f '(c) = 0.
El Teorema de Rolle es susceptible de una
modificación en su enunciado que no altera para
nada la conclusióndel mismo. Esta se refiere al
punto (iii) f (a) = f (b): basta con que el valor de
la función sea el mismo para x = a y x = b y no
necesariamente sean iguales a cero. En la figura
de la izquierda seilustra este hecho.

Teorema del Valor medio:
Si f es una función en la que se cumple que:
(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que

A la izquierda se observa una ilustración de la
interpretación geométrica del Teorema del
Valor medio.
El teorema afirma que si...