CALCULO III CAMPOS VECTORIALES JUEVES ENTREGA



2.1 Definiciones Generales Definici´on: Una funci´on de varias variables reales ~f : A ⊂ R n → R m es una correspondencia que a cada ~x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ R n le asigna a lo m´as una imagen~y = ~f(~x) = (y1, y2, . . . , ym) ∈ R m. De manera similar al caso de las funciones reales de variable real, se define el conjunto dominio de ~f, Dom ~f, como el subconjunto de A formado por loselementos para los cuales existe la imagen por ~f, y el conjunto Im ~f ser´a el subconjunto de R m constituido por los vectores im´agenes de alguna anti-imagen en A. Si Dom ~f=A, entonces y s´olo entonces~f ser´a una aplicaci´on. Ejemplo 1: Las aplicaciones lineales estudiadas en el Algebra Lineal son funciones de varias ´ variables, por ejemplo: T~ : R 3 → R 2 T~(x1, x2, x3) = (2x1 − x2, x1 + x2 −3x3) Tenemos entonces que y1 = 2x1 − x2, y2 = x1 + x2 − 3x3. Ejemplo 2: La funci´on f de R 3 en R: f : R 3 → R , f(x1, x2, x3) = x 3 1 + 2 cos(x2 + x3) Ejemplo 3: ~f : R 2 → R 2 , ~f(x1, x2) = (x 2 1 +x 2 2 , 3x1e x2 ) Ejemplo 4: La funci´on ~σ(t) definida de la forma: ~σ : R → R 3 , ~σ(x) = (cos x,sin x, x2 ) 9 10 CALCULO / INGENIERO GE ´ OLOGO / TEMA 2 ´ no es (estrictamente hablando) unafunci´on de varias variables, se tarta de una funci´on de una variable real, cuya imagen tiene varias componentes reales. Dentro de las funciones de varias variables reales se distinguen varias casosparticulares: Funciones escalares: Si m = 1 (como ocurre en el ejemplo 2), se dice que la funci´on es una funci´on escalar de n variables reales. Es habitual en esta situaci´on denotar a la funci´on sinutilizar el s´ımbolo de vector1 . Toda funci´on no escalar (funci´on vectorial) se compone entonces de varias (exactamente m) funciones escalares componentes: si ~f(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , ym),entonces evidentemente yj = fj (x1, . . . , xn), con j = 1, . . . , m, son las m funciones escalares componentes de la funci´on vectorial ~f. Utilizaremos a menudo la notaci´on ~f ≡ (f1, . . . , fm)...