Calculo Iii

Calculo infinitesimal
´
de varias variables reales
Volumen 1

Jos´ Mar´a Rocha Mart´nez
e
ı
ı
Departamento de
Matem´ ticas
a
Escuela Superior de F´sica
ı
y Matem´ ticas
a
del I.P.N.

Gabriel D. Villa Salvador
Departamento de
Control Autom´ tico
a
Centro de Investigaci´ n
o
y de Estudios Avanzados
del I.P.N.

Contenido
Contenido

ii

Prefacio

iii

1 El espacioRn .
1.1 Rn como espacio euclideano .
1.2 Propiedades de la norma y del
1.3 Normas y m´tricas en Rn . . .
e
1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . .

1
1
2
6
10

..........
producto interno.
..........
..........

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

..
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

2 Topolog´ de Rn .
ıa
15
2.1 Conjuntos abiertos y cerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Sucesiones en Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Conjuntos compactos y conexos
35
3.1 Conjuntos compactos . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Topolog´ relativa y conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ıa
3.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Funciones en Rn
53
4.1 L´
ımites de funciones y funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Derivadas
75
5.1 Resultados fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Derivadas parciales y representaci´n matricial . . . . . . . . . . . . . . . . 87
o
5.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6 Teorema de Taylor
6.1 Derivadas de orden superior . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 El Teorema de Taylor y sus aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 M´ximos y m´
a
ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111
. 111
. 121
. 129

ii

Contenido

6.4

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7 Funciones inversas e impl´
ıcitas
7.1 Teoremade la Funci´n Inversa .
o
7.2 Teorema de la Funci´n Impl´
o
ıcita
7.3 Multiplicadores de Lagrange . .
7.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
..
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

145
. 145
. 154
. 162
. 168

A Desigualdad de Minkowski

175

Bibliograf´
ıa

179

Prefacio
El c´lculo infinitesimal de varias variables reales es un tema de particular relevancia en
a
las ´reas de ingenier´ y de ciencias f´
a
ıa
ısico–matem´ticas.
a
El presente volumen trata sobre el c´lculodiferencial de varias variables reales. Hay
a
muchas formas de presentar el material aqu´ tratado. Nosotros elegimos un punto de
ı
vista te´rico, aunque sin descuidar ejemplos que ilustren nuestros resultados. Debido a
o
lo anterior, la aproximaci´n al c´lculo integral aqu´ presentada hace adecuado este texto
o
a
ı
para los estudiantes del segundo ´ tercer a˜o de licenciatura en las carreras de f´o
n
ısica y/´
o
matem´ticas.
a
En el Cap´
ıtulo 1 etudiamos el espacio Rn como espacio euclideano. Posteriormente
vemos las propiedades fundamentales de funciones norma y m´tricas en Rn .
e
En los Cap´
ıtulos 2 y 3 estudiamos la topolog´ de Rn .
ıa
El Cap´
ıtulo 4 trata fundamentalmente sobre las funciones definidas sobre Rn .
El Cap´
ıtulo 5 es sobre derivadas y diferenciales...