Calculo integral

UNIDAD 1.- Diferenciales e integral definida
1.1 La diferencial
* Definiciones de ƒ (Δ x) y ƒ(x) Δ x
* Interpretación gráfica de dy
* Reglas de diferenciación
* La diferencial como aproximación del incremento
* Errores pequeños
1.2 La integral indefinida
* Anti derivadas
* Constante de integración
* Determinación de la constante de integración por medio decondiciones iniciales
* Significado geométrico de la constante de integración
* La integral indefinida y las reglas para la integración inmediata de diferenciales algebraicas, exponenciales y trigonométricas.
* Integración por sustitución trigonométrica de expresiones que contienen a2-u2; u±a2
* Aplicaciones en administración, economía, costo tota, ingreso total y utilidad totalUNIDAD 2.- Integral definida y los métodos de investigación
2.1 Integral definida
* La notación sumatoria
* Área limitada por la gráfica de una función continua, donde y = ƒ(x) en un intervalo [a, b] y ƒ(x) ≥ 0
* Concepto de integral definida mediante la sumatoria de Riemmann
2.2 Técnicas de integración
* Cambio de variable
* Integración por partes
* Integración depotencias de funciones trigonométricas
* Fracciones parciales
2.2.1 Denominadores con factores lineales
2.2.2 Denominadores con factores cuadráticos

UNIDAD 3.- Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
3.1 El teorema fundamental del cálculo y sus aplicaciones
* Integración aproximada: Regla trapecial y regla de Simpson
* Área y área entre dos gráficas.3.2 Aplicaciones de aplicaciones de la integral definida
* En situaciones en las ciencias naturales y sociales

Unidad 1.- Diferenciales e integral definida
1.1 Diferencial

Se llama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, al incremento ∆ x; esto es dx = ∆ x. Pueden utilizarse para aproximar valores de funciones.

* Definiciones ƒ (Δ x) y ƒ´(x) Δ xEs sabido que la derivada de la función y=f(x) se representa por la notación

dydx=f´(x)

en donde cabe recalcar que la expresión dydx es el símbolo que representa el límite del cociente ΔyΔx cuando Δx tiende a cero, más no la fracción con numerador dy y denominador dx.

Si de ƒ ´(Δ x) de la derivada de y=ƒ (x) para un valor particular de x, y Δx es un incremento de x, arbitrariamenteelegido, la diferencial de y=ƒ (x ) , que se representa por el símbolo dy=d ƒ (x), se define por la igualdad

1. dƒ x=dy= ƒ ´x Δx = dydx Δx

Nota que la diferencial depende de dos variables, de x por depender de f´x de ella, y la Δx.

Si ƒ (x) = x entonces ƒ ´(x) = 1 y (A) se reduce a

dx = Δx

Así, cuando x es la variable independiente, ladiferencial de x (= dx) es idéntico a Δx. Por tanto, si y = ƒ (x), (A) puede, en general, escribirse de la forma.
2. dy= ƒ ´x dx* = dydx dx

Y se enuncia como:
La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente.

dy Se lee diferencial de y
dx Se lee diferencial de x





* Interpretación gráfica de dy

Si lafunción y = f (x) admite derivada finita en un punto, su incremento puede expresarse así:

∆y = f´(x). ∆x + ω. ∆x
siendo ω un infinitésimo para ∆x →0. Al primer término se lo llama diferencial de y, y se escribe:

dy = f´(x). ∆x

La diferencial en el punto de una función derivable en ese punto, es el producto de la derivada por el incremento arbitrario de la variable.
En particular,considerada x como función de x, por ser su derivada 1, será: dx = ∆x; luego, es indiferente poner ∆x, o bien dx, siendo por tanto:

dy = y´ dx

es decir que la diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente.

Considerando tres variables:
1º.- El incremento ∆x, de la variable independiente, que coincide con su diferencial.
2º.- El...