calculo integral

Proyecto “Algebra Lineal para Todos” Profesor José Arturo Barreto Gutiérrez Caracas
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Aplicaciones de las Matrices a la Solución de Problemas de Redes Eléctricas
Resumen
Se muestra como obtener, sistemas de ecuaciones lineales que permitan calcular
intensidades de corrientes en los ramales del mismo y diferencias de voltajes entrenodos, a
partir de datos como fuerzas electromotrices de baterías (voltajes) y resistencias, en
circuitos eléctricos en forma de red. Se explica el método de solución de ecuaciones
lineales simultáneas, denominado descomposición LU. Se aplican los métodos de análisis
de corrientes por bucles y análisis de voltajes por nodos, concluyéndose que el método de
análisis de corrientes por buclesproduce matrices diagonal dominantes y positivo definidas
y que en cualquiera de estos métodos, la matriz del sistema de ecuaciones es una matriz
simétrica, no singular, con solución única. Se muestra además que estos procedimientos
llevan a expresiones matriciales de la ley de Ohm, como RI = V, en el caso del análisis de
corrientes por bucles y SV= I, en el caso del análisis de voltajes pornodos. Por supuesto
que esta es otra forma equivalente de la ley de Ohm, ya que como S es una matriz no
singular, V = S-1I. V e I son vectores de voltajes y corrientes respectivamente.
Capítulo I.
1. Planteamiento del problema
Las matrices tienen un número cada vez mas creciente de aplicaciones en la solución de
problemas en Ciencia y Tecnología.
Se aplicarán aquí al cálculo de corrientes enuna “red eléctrica”. Se dará tratamiento
especial al recálculo de las intensidades de las corrientes en cada “bucle” de la red cuando
se modifican las fuerzas electromotrices de las fuentes, debido a fallas o cambios en las
mismas.
Ilustraremos esto a a partir de un ejemplo:
El siguiente diagrama presenta un modelo sencillo de una red eléctrica constituida por
baterías, cables y resistencias.Proyecto “Algebra Lineal para Todos” Profesor José Arturo Barreto Gutiérrez Caracas
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A partir de las leyes de Kirchoff que señalan que la suma de las fuerzas electromotrices de
fuentes (baterías u otros generadores de energía) en cada “bucle” de la red es igual a la
suma de los productos IR ( intensidad x resistencia), sellega al sistema de ecuaciones
lineales simultáneas:
76i1 − 25i 2 − 50i 3 = 10
− 25i1 + 56i 2 − i 3 = 0
− 50i1 − i 2 + 106i 3 = 0
El sistema de ecuaciones en forma matricial sería: RI = V (Expresión matricial de la ley de
Ohm), en donde:

 76 − 25 − 50 
 i1 
 ξ1 


i  V =  ξ 
R =  − 25 56
−1  I =  2 
 2
 − 50 − 1 106 
ξ 
i 3 
 
 3


Las filas de laMatriz R provienen de las sumas de las resistencias en el bucle i, los cuales
son los elementos de la diagonal rii , los otros elementos de la fila, los rij , i ≠ j
corresponden a las resistencias comunes al ramal frontera entre los bucles i, j, i ≠ j con
signo negativo.
El problema que se plantea es recalcular el vector columna I, a partir de cambios en el
vector columna de las fuerzaselectromotrices (voltajes) V, debido a fallas en las fuentes u
otros cambios posiblemente inesperados.

Una manera que pareciera natural es recalcular I a partir de la ecuación I = R-1V, ya que la
matriz R siempre es no singular, método que se considera inconveniente por razones que se
citarán en el estudio.
Se planteará, la conveniencia de utilizar la descomposición LU en su lugar.
2.Objetivos del proyecto
2.1. Objetivo general

Presentar de una manera ejemplar y sencilla la utilización de métodos matriciales,
como alternativa conveniente en la solución de problemas de redes eléctricas.
2.2. Objetivos específicos
2.2.1. Describir las condiciones que hacen que el método de Gauss y la
descomposición LU, sean estables en el caso de los problemas de redes eléctricas,
en donde no...