Calculo integral

Cálculo integral

Escuela: CEA

Materia: Calculo Integral

Profesor: Alemiz Perez Gomez

Alumno: Maritza Manuel Manuel

Fecha entrega: Octubre 2009

PROGRAMA

UNIDAD I DIFERENCIALES E INTEGRALES INDEFINIDAS

1.1 LA DIFERENCIAL

Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en lasaproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con ladiferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto

Puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos.
Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cadapunto x perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).

DEFINICIONES DE f∆ x y f ( x ) ∆ x

Una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original.

Ejemplo:

y=3x”+2x+18

dy/dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva yun eje cartesiano.

Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.

Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).

F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtenerleyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

Aquí están las principales funciones primitivas:

Función F: primitiva de f función f: derivada de F

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2–3x). Como no se conoce primitivas de un producto, desarrollemos la expresión: x(2–3x)= 2x - 3×2. 2x es la derivada de x2, 3×2 es la de x3, por lotanto 2x - 3×2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.

Al diferir las primitivas de una misma función f de una constantesolamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:

Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el área entre la curva de f, el eje de los x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste es...