Calculo integral

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  • Publicado : 10 de septiembre de 2012
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Calculo Integral
En los procesos que observas a tu alrededor podemos ver, percibir la variación, pero, ¿qué tan grande debe de ser esa variación para que la puedas percibir?
Cada pequeña variación que puedas medir o percibir de alguna manera es lo que llamamos “incremento”; sin embargo, supongamos que la variación es tan pequeña que ni tan siquiera con los instrumentos que conoces la puedesmedir, ¿aún existe la variación?
Observa y analiza las siguientes situaciones e imagina si existe una variación tan pequeña que pase imperceptible a tus sentidos ¿cómo puedes estar seguro de que en el fenómeno se da la variación?
• ¿Puedes observar crecer uno de los tallos que ves en una planta trepadora?
• ¿En un vaso con agua, puedes ver cómo ésta se evapora de manera continua?
•¿Puedes percibir como se seca la ropa al viento, cuando se “tiende” mojada?
• ¿Puedes en dos instantes sucesivos percibir si el café caliente en una tasa se ha enfriado?
Observa y analiza los siguientes fenómenos:
• Cómo se forma un charco.
• Cómo se forma un árbol a partir de una semilla.
• Cómo crece el pelo.
• Cómo te llenan el “hígado depiedritas”.
• La acumulación de apuntes a lo largo de un curso.
• La cantidad de dinero que un inversionista tiene en el banco cada día.
¿Qué tienen en común estos procesos?
En el presente curso nos concentraremos básicamente en los procesos de acumulación de las pequeñas variaciones imperceptibles, la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de esta acumulación se llamaCálculo Integral y a él se dedicará nuestro curso.

¿Qué tan grande puede ser una variación antes de que la percibas?

Por experiencia sabemos que las plantas y nosotros mismos crecemos día con día, de otra forma no podríamos explicar porqué si dejamos de ver a una persona durante cierto tiempo, al volverla a encontrar posteriormente la notarás cambiada. Así, por más que fijemos la vista ante unaplanta no vemos que esta crezca; sin embargo, uno o dos días después posiblemente notaremos que ha cambiado, tiene nuevos retoños o incluso sus flores se han abierto.
Los cambios que sufren muchas de las cosas que nos rodean resultan imperceptibles ante nuestros sentidos si las observamos de manera continua, salvo que hagamos comparaciones entre instantes distantes en el tiempo. Desde luego,que es posible encontrar fenómenos cuya variación es tan grande que aún instantáneamente observamos que sus cambios ocurren.
Por ejemplo, observa las nubes en el cielo, si es un día tranquilo sin viento, verás a las nubes apacibles y aparentemente estacionadas en el fondo azul; por el contrario, posiblemente si es un día de tormenta cambiarán su forma y se desplazarán ante tus ojos “visiblemente”.Entonces es posible imaginar ¿qué tan grande puede ser una variación antes de que la percibas?
No te has preguntado ¿Qué tan pequeña puede ser esa variación?, por que sabemos que podemos imaginar el instante de tiempo tan pequeño como se quiera y decir que es infinitamente pequeña, o en nuestra notación matemática si Δt→0 luego Δx→0, siendo x la variable bajo observación. Pero luego no merefiero a ese límite que en verdad existe, la pregunta fue a la inversa, ya que mucho antes de que Δx alcance su límite al cero hay un momento en que deja de ser perceptible, en ese instante y después de él, dentro del proceso en que Δx→0, hemos alcanzado el diferencial escrito dx.
El diferencial es el concepto matemático asociado a la idea de que:

Observa que para propósitos prácticos con x+ dx sigues ¡estando en x! el movimiento desde x es imperceptible; sin embargo, si sigues acumulando más “dx” llega un momento en que estás en un nuevo lugar, ¡ahora estás en x + Δx!
¿Incremento y diferencial es lo mismo?

De la sección previa hemos obtenido un acercamiento a los diferenciales y a los incrementos de una variable independiente, pero en la mayoría de los fenómenos que ocurren...
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