Calculo Integral
Páginas: 21 (5157 palabras)
Publicado: 7 de octubre de 2012
INDICE
Definición y origen de los números complejos…….………………………………...1.1
Operaciones fundamentales con números complejos….………………………......1.2
Potencia de i, modulo o valor absoluto de un # complejo………………………….1.3
Forma polar y exponencial de un número complejo…...…………………………...1.4
Teorema de Moiver y extracción de raíces……….………………………………….1.5
Ecuacionespolinomicas………………………………………………………………..1.6
1.1 DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Definición.
Todo número complejo (o imaginario) es una expresión de la forma + bidondea es la parte real y bi es la parte imaginaria.
Tanto a como b son reales, e=-1.
Los números complejos aparecen al tratar de resolver ecuaciones del tipo x2+ 1=0.
Despejando a x se obtiene x = -1, que se escribe x = i.
El origen de los números complejos se remontaal siglo XVI en que Cardano llamó raíz ficticia a las raíces negativas de una ecuación. Otros matemáticos posteriormente las llamaron raíces falsas o raíces sordas. En 1572 Rafael Bonelli señaló que eran necesarias las cantidades imaginarias para resolver ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma x2 + c = 0., donde c es cualquier número positivo.
El brillante matemático Leonhard Eulerdesignó por i a-1. El símbolo i expresa en forma precisa una idea abstracta, ya que se puede preguntar ¿Existe algún número que se multiplique por sí mismo y de -1? Los números complejos se pueden graficar en el plano complejo creado por el gran matemático Gauss, quien colocó en el eje x la parte a, y en el eje y la parte bi, es decir, el eje x o eje real (Re) representa la parte real de un númerocomplejo y el eje y o eje imaginario (Im) la parte imaginaria bi del número complejo. Otra forma de representar un número complejo es el par real a,b.
Operaciones fundamentales con números complejos.
Los números complejos cumplen las reglas del álgebra ya que se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir (excepto la división por 0+0i).
Antes de ver la suma de números complejosescribiremos en función de i diferentes expresiones:
- 9 = 9 - 1= 9 – 1 = 3i recordar que -1 = i2.
- 4 - 4 = - 8 = 8 (-1) = 4(2)(-1) = 42 - 1 = 22i
Suma de un número complejo.
Para sumar dos números complejos se suma primero la parte real del primer número con la parte real del segundo. Luego se suma la parte imaginaria del primer número con la parte imaginaria delsegundo. En forma de ecuación queda como sigue:
a + bi + c + di = a + c + bi + dia + bi + c + di = a + c + b + di
Por ejemplo:
316. 3 + 7i + 2 + 4i = 3 + 2 + 7i + 4i = 5 + 7 + 4i = 5 + 11i
La suma anterior se realizó en tres pasos, se recomienda al principio practicar los tres pasos, con un poco de práctica podemos realizar solo los dos últimos pasos, cuando tengamos varios ejerciciosresueltos podremos aplicar directamente el último paso.
Veamos otro ejemplo con dos pasos:
8 - 11i + 13 + 2i = 8 + 13 + -11 + 2i = 21 - 9i 1
6 + 9i + 5 - 3i = -6 + 5 + 9 - 3i = -1 + 6i
-4 - 6i + -7 + 8i = - 4 - 7 + -6+8i=-11+2i
-10 - 4i + -1 - 9i = - 10 -1 + - 4 - 9i = - 11 - 13i
23 + 67i + -13 - 47i = 23 - 13 + 67 - 47i = 13 + 27i
67 + 58i + 23 - 49i = 67 + 23 + 58- 49iAl resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a paso en forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.
67 + 23 = 18 + 1421 = 3221
58 - 49i = 45 - 3272i = 1372i
67 + 58i + 23 - 49i = 3221+1372i
Resta de un número complejo.
Para restar dos números complejos hay dos formas para hacerlo:
La primera es que se leresta a la parte real del primer número la parte real del segundo. Luego se resta a la parte imaginaria del primer número la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:
a + bi - c + di = a - c + bi - dia + bi - c + di = a -c + b - di
Resolvamos varios ejemplos:
4 + 7i – 6 + 3i = 4 – 6 + 7i - 3i = - 2 + 7 - 3i = -...
Definición y origen de los números complejos…….………………………………...1.1
Operaciones fundamentales con números complejos….………………………......1.2
Potencia de i, modulo o valor absoluto de un # complejo………………………….1.3
Forma polar y exponencial de un número complejo…...…………………………...1.4
Teorema de Moiver y extracción de raíces……….………………………………….1.5
Ecuacionespolinomicas………………………………………………………………..1.6
1.1 DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Definición.
Todo número complejo (o imaginario) es una expresión de la forma + bidondea es la parte real y bi es la parte imaginaria.
Tanto a como b son reales, e=-1.
Los números complejos aparecen al tratar de resolver ecuaciones del tipo x2+ 1=0.
Despejando a x se obtiene x = -1, que se escribe x = i.
El origen de los números complejos se remontaal siglo XVI en que Cardano llamó raíz ficticia a las raíces negativas de una ecuación. Otros matemáticos posteriormente las llamaron raíces falsas o raíces sordas. En 1572 Rafael Bonelli señaló que eran necesarias las cantidades imaginarias para resolver ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma x2 + c = 0., donde c es cualquier número positivo.
El brillante matemático Leonhard Eulerdesignó por i a-1. El símbolo i expresa en forma precisa una idea abstracta, ya que se puede preguntar ¿Existe algún número que se multiplique por sí mismo y de -1? Los números complejos se pueden graficar en el plano complejo creado por el gran matemático Gauss, quien colocó en el eje x la parte a, y en el eje y la parte bi, es decir, el eje x o eje real (Re) representa la parte real de un númerocomplejo y el eje y o eje imaginario (Im) la parte imaginaria bi del número complejo. Otra forma de representar un número complejo es el par real a,b.
Operaciones fundamentales con números complejos.
Los números complejos cumplen las reglas del álgebra ya que se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir (excepto la división por 0+0i).
Antes de ver la suma de números complejosescribiremos en función de i diferentes expresiones:
- 9 = 9 - 1= 9 – 1 = 3i recordar que -1 = i2.
- 4 - 4 = - 8 = 8 (-1) = 4(2)(-1) = 42 - 1 = 22i
Suma de un número complejo.
Para sumar dos números complejos se suma primero la parte real del primer número con la parte real del segundo. Luego se suma la parte imaginaria del primer número con la parte imaginaria delsegundo. En forma de ecuación queda como sigue:
a + bi + c + di = a + c + bi + dia + bi + c + di = a + c + b + di
Por ejemplo:
316. 3 + 7i + 2 + 4i = 3 + 2 + 7i + 4i = 5 + 7 + 4i = 5 + 11i
La suma anterior se realizó en tres pasos, se recomienda al principio practicar los tres pasos, con un poco de práctica podemos realizar solo los dos últimos pasos, cuando tengamos varios ejerciciosresueltos podremos aplicar directamente el último paso.
Veamos otro ejemplo con dos pasos:
8 - 11i + 13 + 2i = 8 + 13 + -11 + 2i = 21 - 9i 1
6 + 9i + 5 - 3i = -6 + 5 + 9 - 3i = -1 + 6i
-4 - 6i + -7 + 8i = - 4 - 7 + -6+8i=-11+2i
-10 - 4i + -1 - 9i = - 10 -1 + - 4 - 9i = - 11 - 13i
23 + 67i + -13 - 47i = 23 - 13 + 67 - 47i = 13 + 27i
67 + 58i + 23 - 49i = 67 + 23 + 58- 49iAl resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a paso en forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.
67 + 23 = 18 + 1421 = 3221
58 - 49i = 45 - 3272i = 1372i
67 + 58i + 23 - 49i = 3221+1372i
Resta de un número complejo.
Para restar dos números complejos hay dos formas para hacerlo:
La primera es que se leresta a la parte real del primer número la parte real del segundo. Luego se resta a la parte imaginaria del primer número la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:
a + bi - c + di = a - c + bi - dia + bi - c + di = a -c + b - di
Resolvamos varios ejemplos:
4 + 7i – 6 + 3i = 4 – 6 + 7i - 3i = - 2 + 7 - 3i = -...
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