calculo integral

H) “TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO”
 La conexión que haya entre integración y derivación. La relación entre estos dos procesos es, de algún modo, análoga a la que hay entre 'elevar al cuadrado' y la 'raíz cuadrada'. Si elevamos al cuadrado un número positivo y después tomamos la raíz cuadrada del resultado, obtenemos el número original. De igual modo, si integramosuna función continua obtenemos una nueva función (una integral indefinida de f) y si diferenciamos esta función obtenemos la función original.
Esta conexión entre diferenciación e integración es muy sorprendente. La integración está relacionada con la suma de muchos números pequeños (por ejemplo, cuando calculamos un área, la longitud de una curva, etc.) y la diferenciación es la tasa de variacióninstantánea (una interpretación gráfica de la derivada es la pendiente de la tangente a la curva). El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que estos dos conceptos están íntimamente relacionados.
Ya hemos visto varios ejemplos cuando diferenciamos e integramos funciones polinómicas pues ya vimos cierta relación.
Sabemos que si f es integrable, entonces F(x) [una integral indefinida] escontinua. Nos podemos preguntar que ocurre cuando la función original f es continua. Resulta que F es diferenciable (y que su derivada es especialmente simple).
EL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO) Sea f una función integrable en [a,b], y definimos una nueva función F en [a,b] por
fx=axftdtSi c pertenece a [a, b] y f es continua en c, entonces F es diferenciable en c, yF'c=fcUna demostración visual bien conocida asume que la función f es continua en un entorno del punto (esta es una condición más débil, la hipótesis del teorema es más fuerte. Para una demostración analítica más rigurosa de este teorema hay que leer un buen libro de Cálculo).
Si c es un punto de (a, b), mirando la imagen podemos aceptar quefc-h-Fc=ac+hftdt-acftdt=cc-hftdt
Si h es suficientemente pequeño (o podemos usar un teorema de valor intermedio, para ser más precisos)
Fc+h-Fc≈fc.hDividiendo entre h:
f(c)≈Fc-h-F(c)hF'c=limh→0Fc+h-Fch=f(c)F'c=f(c)Si f tiene mejores propiedades, por ejemplo, si f es continua en todos los puntos de [a, b], entonces F es diferenciable en todos los puntos de (a, b) y
ddxaxftdt=f(x)odFdx=f(x)F'x=f(x) x ∈(a,b)La idea es que empezamos con una función f:

Consideramos una integral indefinida F (arrastrando el límite inferior de integración obteneos diferentes funciones integrales):

En un punto diferenciamos esta función F (gráficamente estamos considerando la pendiente de la recta tangente):

Entonces:

Este Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que toda función continua tiene unaantiderivada y nos muestra cómo construir una usando una integral indefinida. Incluso funciones no diferenciables con esquinas, tales como el valor absoluto tienen una antiderivada.
Muchas veces el problema es cómo encontrar una  HYPERLINK "http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/derivative/antiderivative.html" antiderivada de una función, es decir, dada una función f(x), encontrar una función F(x)tal que F'(x) = f(x).
Un caso importante es cuando queremos integrar una función que tiene una antiderivada (o primitiva). Es decir, conocemos una función f y queremos integrar f' (o tenemos que integrar f' y podemos encontrar una primitiva f). En este caso, podemos ver la función que queremos integrar como una tasa de variación y la integral como un acumulador de este cambio (un ejemplo: laintegral de la velocidad es la distancia recorrida).
“CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS”
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b...