Calculo Integral

    | Longitud de una curva plana La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensiónlineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmulageneral para obtener soluciones cerradas para algunos casos.La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será másajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichospuntos.Determinar la longitud  del arco de una curva con ecuación , comprendida entre los puntos , .  |
 Como se muestra en la figura anterior, dividimos el arco  en  partes, uniendo luego lossucesivos puntos de división por segmentos rectilíneos.Por ejemplo, el segmento  tendrá como longitud Luego, tendremos una aproximación de la longitud de la curva , mediante la suma: Si aumentamosindefinidamente el número de puntos de división, entonces las longitudes de los segmentos tienden a cero, por lo que: 
nos da el arco , siempre que el límite exista. Para expresar el límite como una integraltenemos lo siguiente: supongamos que la función con ecuación  es continua y posee derivada continua en cada punto de la curva, donde  hasta . Luego, por el teorema del valor medio para derivadas,existe un punto  entre los puntos  y  de la curva, donde la tangente es paralela a la cuerda , esto es: Luego  que por definición corresponde a la integral: 
(hemos expresado  como ). Como la longitudde una curva no depende de la elección de los ejes coordenados, si  puede expresarse como función de , entonces la longitud del arco está dada por  |

Ejemplo.
1) Encuentra la longitud del arco...