calculo integral
En todo el estudio hecho hasta ahora se han utilizado dos
propiedades fundamentales: la funci´on ten´ıa que ser acotada y
el intervalo de integraci´on ten´ıa que ser cerrado y acotado.
En esta u
´ltima secci´on extenderemos el c´alculo de la integral
de Riemann a:
1. Funciones definidas en intervalos no acotados: integrales
impropias de primera esp´ecie.
2. Funcionesno acotadas: integrales impropias de segunda
especie.
1
Integrales impropias de primera especie:
Las integrales de este tipo son de la forma
+∞
+∞
f,
−∞
b
f,
e
a
f,
−∞
siendo f acotada en el intervalo correspondiente.
Observaci´
on 1 Es evidente que las propiedades de la integral
permiten reducir su estudio al caso
+∞
f,
a
siendo f acotada en [a,+∞).
Supongamos que se conoce una primitiva F de la funci´on f .
Entonces,
+∞
I1 =
x1
f = lim
a
x1 →+∞
f = lim (F (x1 ) − F (a)) .
x1 →+∞
a
2
Definici´
on 1 Sea f : [a, +∞) → R una funci´on acotada.
+∞
1. Se dice que a f es convergente si, y s´olo si, f es Riemann integrable para todo intervalo [a, x], existe el l´ımite
x1
lim
x1 →+∞
f
a
y es un n´umero real.
En este caso diremos que la funci´on f es Riemann integrable en el intervalo [a, +∞).
+∞
2. Se dice que a f es divergente si, y s´olo si, f es Riemann integrable para todo intervalo [a, x], existe el l´ımite
x1
lim
x1 →+∞
f
a
y no es finito.
+∞
3. Se dice que a f es oscilante en el caso en que f no
sea Riemann integrable en un intervalo [a, x] o no exista
ell´ımite
x1
f.
lim
x1 →+∞
a
Observaci´
on 2 La idea que subyace tras las integrales impropias de primera especie es integrar hasta un punto x1 arbitrario
y, despu´es, hacer tender x1 al infinito.
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Ejemplo 1 Dado a > 0, estudiaremos el car´acter de la integral
impropia de primera especie
+∞
a
1
dx ,
xs
seg´
un los valores del par´ametro s ∈ R.
Como
+∞
I1 =
a
1
dx =lim
x1 →+∞
xs
x1
a
lim
1 1−s
x
1
x1 →+∞ 1 − s
dx
=
xs
lim ln x1 ,
x1 →+∞
a
x1
, s = 1,
a
tenemos que,
1. Si s > 1, entonces es convergente y I1 =
1 1−s
a .
s−1
2. Si s ≤ 1, I1 es divergente.
Si f : [a, +∞) → R es tal que f ≥ 0 y es Riemann integrable
en todo intervalo [a, x], entonces f es Riemann integrable en
[a, +∞) si, y s´olo si, existeun M ≥ 0 tal que para todo x ≥ a
se tiene que
x
f ≤ M.
a
Los principales criterios que tenemos para averiguar si una
integral impropia de primera especie es convergente se resumen
en los siguientes resultados.
Teorema 1 (Criterio de comparaci´on) Sea f : [a, +∞) → R
tal que f es Riemann integrable en todo intervalo de la forma
[a, x]. Si existe g : [a, +∞) → R tal que para todo xperteneciente a [a, +∞) se tiene que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) y adem´as
g es Riemann integrable en [a, +∞), entonces f es Riemann
integrable en [a, +∞).
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s = 1,
Si utilizamos las funciones del ejemplo 1, como corolario tenemos lo siguiente:
Corolario 1 Sea f : [a, +∞) → R tal que f es Riemann integrable en todo intervalo de la forma [a, x]. Entonces:
1. Si para todo x perteneciente a [a, +∞) setiene que
0 ≤ f (x) ≤
1
xs
con s > 1 entonces f es Riemann integrable en [a, +∞).
2. Si para todo x perteneciente a [a, +∞) se tiene que
f (x) ≥
1
xs
con s ≤ 1, entonces f es divergente en [a, +∞).
Teorema 2 (Criterio de comparaci´on por paso al l´ımite) Sean
f, g : [a, +∞) → R tales que son Riemann integrables en todo
intervalo de la forma [a, x] y, adem´as, f ≥ 0, g > 0. Seaf (x)
,
x→+∞ g(x)
α = lim
entonces:
1. Si α = 0 y g es Riemann integrable en [a, +∞), tenemos
que f es Riemann integrable en [a, +∞).
2. Si α = +∞, tenemos que, si f es Riemann integrable
en [a, +∞), se verifica que g es Riemann integrable en
[a, +∞).
3. Si α es un n´
umero real no nulo, tenemos que f es Riemann
integrable en [a, +∞) si, y s´olo si, g es Riemann integrable...
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