Calculo Integral

Dedicatoria
Para mis padres, Martha y El´ ıas; para mi adorable esposa, Flor Angela y para los m´s grandes tesoros a de mi vida, mis hijas Alessandra Anghely y Stefany Grace.

Introducci´n o
Antes de abocarnos al estudio de la integral definida y de la integral indefinida, daremos una peque˜a semblanza hist´rica de la relaci´n entre el c´lculo diferencial y el integral. n o o a Durante lasegunda mitad del siglo XV II, Newton y Leibniz dieron un paso decisivo en la matem´tica de las magnitudes variables, al sentar las bases del c´lculo diferencial e a a integral. “Este fue el verdadero comienzo del an´lisis, puesto que el objeto de este c´lculo a a son las propiedades de las funciones mismas, distinto del objeto de la geometr´ anal´ ıa ıtica que son las figuras geom´tricas. De hecho,lo que hicieron Newton y Leibniz fue completar esa e cantidad inmensa de trabajo que hab´ desarrollado hasta entonces muchos matem´ticos y ıan a que se extend´ hasta los m´todos de determinaci´n de ´reas y vol´menes empleados por los ıa e o a u antiguos griegos”. Aqu´ solo queremos llamar la atenci´n acerca de los or´ ı o ıgenes de este c´lculo, que fueron a principalmente los nuevos problemas dela mec´nica y los viejos problemas de la geometr´ a ıa, consistentes estos ultimos en la determinaci´n de tangentes a una curva dada y el c´lculo de ´ o a ´reas y vol´menes. Estos problemas geom´tricos hab´ sido ya estudiados por los antiguos a u e ıan (basta mencionar a Arqu´ ımedes), y tambi´n por Kepler, Cavalieri, y otros, a principios del e siglo XV II. Pero el factor decisivo fue eldescubrimiento de una notable relaci´n entre estos o dos tipos de problemas y la formulaci´n de un m´todo general para resolverlos; tal fue la obra o e de Newton y Leibniz. Esta relaci´n, que permiti´ conectar los problemas de la mec´nica con los de la geometr´ o o a ıa, fue descubierta gracias a la posibilidad (brindada por el m´todo de coordenadas) de hacer e una representaci´n gr´fica de la dependenciade una variable respecto a la otra, o, en otras o a palabras, de una funci´n. Con la ayuda de esta representaci´n gr´fica es f´cil formular la o o a a relaci´n antes mencionada entre los problemas de la mec´nica y la geometr´ (relaci´n que o a ıa o fue el origen del c´lculo diferencial e integral) y describir as´ el contenido general de estos dos a ı tipos de c´lculo. a El c´lculo diferencial es,b´sicamente, un m´todo para encontrar la velocidad de un movimiena a e to cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Este problema se resuelve por “derivaci´n” y es completamente equivalente al problema de dibujar una tangente a la curva o que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo. La velocidad en el instante t es igual a la pendiente de la tangente a la curvaen el punto correspondiente a t. El c´lculo integral es en esencia un m´todo para encontrar la distancia recorrida cuando se a e i

ii

Matem´tica II a

Walter Arriaga D.

conoce la velocidad, y en general, de encontrar el resultado total de la acci´n de una magnitud o variable. Evidentemente, este problema es rec´ ıproco del problema de c´lculo diferencial (el a problema de encontrar lavelocidad), y se resuelve por “integraci´n”. Resulta que el problema o de la integraci´n es en todo equivalente al de encontrar el ´rea bajo la curva que representa o a la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. La distancia recorrida en el intervalo de tiempo t1 a t2 es igual al ´rea bajo la curva entre las rectas que corresponden en la gr´fica a a a los valores t1 a t2 . Haciendoabstracci´n de la formulaci´n mec´nica de los problemas y operando con funo o a ciones en vez de dependencias de distancia o velocidad respecto al tiempo se obtienen los problemas de c´lculo diferencial e integral en forma abstracta. a Fundamental para el c´lculo como para todo el desarrollo posterior del an´lisis, es el a a concepto de l´ ımite, que fue formulado algo m´s tarde que los otros conceptos...