Calculo multivariado

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
PROGRAMA DE ECONOMIA
CALCULO MULTIVARIADO

Lic. Erwin Maury Mancilla
1.5 Derivadas Parciales
Sabemos que la derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y,dejando a x fija y otra según cambia x, dejando a y fija.
Suponga que dejamos que varíe solamente a x, dejando a y fija, digamos y = b, en donde b es una constante. Entonces, estamos en presencia de una función de una sola variable x, a saber:
g(x) = f(x, b)
Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) De forma análoga podemos hacerlopara y variable y x fija.
DEFINICIÓN:
Sea f una función de dos variables x e y  D  R2 y sea (a, b)  D, entonces la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) es:
fx(a, b) = g’(a) = lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h, b) - f(a, b))/h〗
siempre y cuando el límite exista
De forma similar definimos la derivada parcial de f con respecto a y en (a, b) por
fy(a, b) = g’(b) = lim┬(h→0)⁡〖(f(a, b +h) - f(a, b))/h〗
NOTACIÓN:
La siguiente tabla muestra las diferentes notaciones de las derivadas parciales
Derivada parcial de f (o z) con respecto a x Derivada parcial de f (o z) con respecto a y Derivada parcial de f (o z) con respecto a x evaluada en (x0, y0) Derivada parcial de f (o z) con respecto a y evaluada en (x0, y0)
fx(x, y) fy(x, y) fx(x0, y0) fy(x0, y0)
∂/∂x[f(x,y)]∂/∂y[f(x,y)]
├ ∂z/∂x┤|_((x_(0, ) y_0)) ├ ∂z/∂y┤|_((x_(0, ) y_0))
∂z/∂x ∂z/∂y ├ ∂z/∂x┤| ■(x=&x_0@y=&y_0 ) ├ ∂z/∂y┤| ■(x=&x_0@y=&y_0 )
Observación: los límites de la definición son en una variable, por lo que podemos calcularlos usando las técnicas aprendidas en cursos anteriores: factorización, racionalización, etc.
Ejemplos: hallar las derivadas parciales
Si z=〖2x〗^2+ 3xy-y^2
Solución: ∂z/∂x=4x+3ySuponiendo a y constante
∂z/∂y= 3x – 2y Suponiendo a x constante
Si z=xy+lnx
Solución: ∂z/∂y=y+ 1/x Suponiendo a y constante
∂z/∂y=x Suponiendo a x constante

EJERCICIOS
Hallar las derivadas parciales si:
a. z = xy – ln xy b. z = yey/x c. z = (x-y)/(x+y)
d. z = ln (x^2-y^2)/(x^2+y^2 ) e. z = xy f. f(x, y, z) = x2 + y2z + z3
2. Si u =x2y + y2z + z2x, demuestre que:∂u/∂x+∂u/∂y+∂u/∂z=(x+y+z)^2
3. Si f(x,y)=2x/(x-y) determine ├ ∂f/∂x┤|_((3,1)); ├ ∂f/∂y┤|_((3,1))
4. SI f(x,y)=2x^2- 3xy+4y^2, determine ├ ∂f/∂x┤|_((1,1)); ├ ∂f/∂y┤|_((1,1))
1.6 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES
Recordemos que la gráfica de z = f(x, y) representa una superficie S. Si f(a, b) = c, entonces el punto P(a, b, c) está sobre la superficie S. El plano vertical y = binterseca a la superficie S en la curva C1 (es decir, C1 es la traza de la superficie S sobre el plano y = b). De manera semejante, el plano vertical x = a interseca a la superficie S en la curva C2. Ambas curvas pasan por el punto P.
Observe que la curva C1 es la gráfica de la función g(x, b) de manera que la pendiente de su recta tangente T1 en el punto es g’(a) = fx(a, b). Ver figura 12La curva C2 es la gráfica de la función g(y) = f(a, y) así que la pendiente de su tangente T2 en el punto P es g’(b) = fy(a, b). Ver figura 13.
Por consiguiente, las derivadas parciales fx(a, b) y fy(a, b) pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas C1 y C2en el punto P, respectivamente.
Las derivadas parciales pueden también ser vistas comorazones de cambio. Si z = f(x, y), entonces fx representa la razón de cambio de z con respecto a x, cuando y permanece fija. De manera semejante, fy representa la razón de cambio de z con respecto a y, cuando x permanece fija.
1.7 DERIVADAS DIRECCIONALES.
Se ha visto cómo las derivadas parciales de una función caracterizan la tasa de variación de la función a lo largo de rectas...