Calculo numerico

´ ACADEMIA POLITECNICA MILITAR

´ ´ CALCULO NUMERICO PRIMER SEMESTRE 2011 Prof. Guillermo S´nchez M. a

Se lo dijo y lo olvid´. o Lo vi´ y lo crey´. o o Lo hizo y lo comprendi´. o Confucio

Problemas de valor inicial. Observaci´n. o
Para resolver el P.V.I. y (x) = f (x, y) , y(a) = α , (1) se propone la siguiente modificaci´n del m´todo de Euler, la que se obtiene integrando la ecuaci´n o eo diferencial y (x) = f (x, y(x)) entre xk y xk+1 , o sea,
xk+1 xk

y (x) dx =

xk+1 xk

f (x, y(x)) dx .

La primera integral, la del primer miembro, puede ser calculada usando el c´lculo integral, a mientras que la otra, puede calcularse mediante la regla del trapecio, as´ ı: y(xk+1 ) − y(xk ) = o sea, yk+1 = yk + h [f (xk , y(xk )) + f (xk+1 , y(xk+1 ))] , 2

h [f (xk , yk ) + f(xk+1 , yk+1 )] , 2 por lo que el m´todo puede expresarse, incluyendo el valor inicial, como: e y0 = α (2) h [f (xk , yk ) + f (xk+1 , yk + hf (xk , yk ))] , 2 donde, yk es la aproximaci´n de y(x) en el punto xk , vale decir, yk ≈ y(xk ). o Observemos que el m´todo de Euler modificado (2), puede expresarse como: e yk+1 = yk + yk+1 = yk + donde: F1 = hf (xk , yk ) F2 = hf (xk+1 , yk + hF1 ) . El m´todode Euler modificado, tambi´n se conoce como un m´todo de Runge-Kutta e e e de orden 2. (R-K 2). 1 1 (F1 + F2 ) 2 (3)

Ejercicios.
1. Considere el problema de valor inicial: x = 5 (t − 1) x , x ∈ [0, 2.0] , x(0) = 5 .

a) Utilice los m´todos de Euler, Euler modificado y de Runge-Kutta 4, con N = 20, 40, e para resolver el problema de valor inicial. b) Confeccione una tabla con los resultadosobtenidos por cada m´todo, para tj = 0.2 j e con j = 0, 1, . . . , 10. c) Grafique el campo de direcciones de la ecuaci´n diferencial, junto a las aproximaciones o obtenidas por cada m´todo y a la soluci´n exacta del problema. e o 2. Para resolver el problema de valor inicial: y = f (x, y) a≤x≤b, y(a) = y0 , (4)

se propone el siguiente m´todo de Runge-Kutta: e M1 = h f (xk , yk ) h 1 M2 = h f xk+ , yk + M1 2 2 M3 = h f (xk + h, yk − k1 + 2M2 ) 1 yk+1 = yk + (M1 + 4 M2 + M3 ) , 6

k = 0, 1, 2, . . .

(5)

a) Use el m´todo propuesto con h = 0.1 para estimar una soluci´n del P.V.I: e o y = x+y, en x = 0.1 y x = 0.2. b) Use el m´todo propuesto con h = 0.2 para estimar la soluci´n del P.V.I: e o y = x+y, en x = 0.2. c) Compare las aproximaciones en x = 0.2 con el correspondiente valorexacto. ¿Cu´l es a su conclusi´n? o 3. Con h = 0.1, adapte el siguiente m´todo de Euler: e yk+1 = yk + hf (xk+1 , yk+1 ) , k = 0, 1, 2, . . . (6) y(0) = 1 , y(0) = 1 ,

para obtener una soluci´n aproximada en x = 0.2 del siguiente problema de valor inicial: o y − y − y + y = 6 ex , y(0) = 0 , y (0) = 0 , y (0) = 0 .

4. En la Figura 1, la masa m est´ suspendida de un resorte en un medio viscosoo conectada a a un mecanismo de amortiguaci´n. Esta fuerza de amotiguaci´n est´ dada por un m´ltiplo o o a u constante de dx/dt. As´ la ecuaci´n que gobierna este movimiento est´ dada por: ı, o a m d2 x dx = −k x − β , dt2 dt 2

0 x?

m m

Figura 1: Movimiento vibratorio amortiguado.

donde k es la constante del resorte y β es una constante de amortiguaci´n positiva y el signo o negativose debe a que la fuerza amortiguadora act´a en direcci´n opuesta al movimiento. u o Considere el siguiente problema de valor inicial: d2 x dx + 10 x = 0 , +2 2 dt dt dx x(0) = −2 , =0 dt t=0 a) Proporcione una interpretaci´n f´ o ısica para las condiciones iniciales. b) Empleando el m´todo de Runge-Kutta 4, con h = 0.1, confeccione una tabla de la e ´ forma k tk xk y usela para estimar elinstante en que el cuerpo pasa, por primera vez, por su posici´n de reposo. ¿Cu´l es la velocidad del cuerpo en ese instante? o a c) Con la ayuda de la tabla anterior, estime el menor instante en que el cuerpo en movimiento, tiene velocidad nula. ¿Qu´ significa que en este instante la velocidad sea e nula ? * Para relajarse responda correcta y justificadamente la siguiente pregunta: Antes del inicio de...