Calculo numerico

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Resumen y ejemplos Tema 3: Solución aproximada de ecuaciones
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Octubre 2008, Versión 1.3

Contenido 1. Método de la bisección. 2. Método de Newton-Raphson. 3. Orden de convergencia: convergencia cuadrática. 4. Método de punto fijo.

1
1.1

Método dela bisección
Teorema de Bolzano
¾

Teorema 1.1 (Bolzano) f (x) continua en [a, b], f (a) · f (b) < 0. =⇒ Existe un α ∈ (a, b) tal que f (α) = 0.

Ejemplo 1.1 Demuestra que la ecuación cos x = x tiene solución única en (0, π/2).

1

Resumen y ejemplos Ponemos la ecuación en la forma

Solución aproximada de ecuaciones. 2

cos(x) − x = 0, la función f (x) = cos(x) − x es continua entodo R, en particular, es continua en [0, π/2]. En los extremos del intervalo, toma valores f (0) = 1, f(π/2) = −π/2,

que son de signo opuesto, por lo tanto, existe un α ∈ (0, π/2) tal que f (α) = cos(α) − α = 0. Veamos la unicidad. Calculamos la derivada f 0 (x) = − sin(x) − 1. Como f 0 (x) < 0 en todo el intervalo (0, π/2), f es decreciente en el intervalo y sólo puede tomar el valor 0 una vez,por lo tanto, la solución es única. ¤

1.2

Descripción del método

• Objetivo Aproximar la solución de f (x) = 0. • Inicio f (x) que cumple las condiciones del teorema de Bolzano en [a, b]. • Método 1. Calculamos el punto medio del intervalo c= 2. Calculamos f (c), — si f (c) = 0, la solución es α = c. — si f (c) 6= 0, comparamos f (c) con f (a) y f (b). El nuevo intervalo tiene un extremoen c, el otro extremo se elige entre a y b de forma que f tome signos distintos en los extremos del nuevo intervalo. Ejemplo 1.2 Primeras iteraciones del método de la bisección para cos(x) − x = 0 en el intervalo [0, π/2]. a+b . 2

Resumen y ejemplos

Solución aproximada de ecuaciones. 3

1. En el ejemplo anterior, hemos visto que f (x) = cos(x) − x cumple las condiciones del Teorema deBolzano. 2. Cálculo de las aproximaciones. • Fase 1. El cuadro inicial es a1 = 0 c1 = b1 = 1. 57080 calculamos c1 = a1 + b1 = 0.78540, 2 f (c1 ) = f (0.78540) = −7. 8295 × 10−2 Fase 1 f (a1 ) = 1 f (c1 ) = f (b1 ) = −1. 57080 ⊕ ª

y completamos la tabla a1 = 0 c1 = 0.78540 b1 = 1. 57080 Fase 1 f (a1 ) = 1 f (c1 ) = −7. 8295 × 10−2 f (b1 ) = −1. 57080 ⊕ ª ª a2 = 0 b2 = 0.78540

• Fase 2. La tablainicial para la fase 2 es a2 = 0 c2 = b2 = 0.78540 calculamos c2 = a2 + b2 = 0.3927, 2 f (c2 ) = f (0.3927) = 0. 53118 Fase 2 f (a2 ) = 1 f (c2 ) = f (b2 ) = −7. 8295 × 10−2 ⊕ ª

a2 = 0 c2 = 0.39270 b2 = 0.78540 • Fase 3. a3 = 0.39270 c3 = 0. 58905 b3 = 0.78540

Fase 2 f (a2 ) = 1 f (c2 ) = 0. 53118 f (b2 ) = −7. 8295 × 10−2 Fase 3 f (a3 ) = 0. 53118 f (c3 ) = 0. 24242 f (b3 ) = −7. 8295 ×10−2

⊕ ⊕ ª

a3 = 0.39270 b3 = 0.78540

⊕ ⊕ ª

a4 = 0. 58905 b4 = 0.78540

Resumen y ejemplos • Fase 4. a4 = 0. 58905 c4 = 0. 68723 b4 = 0. 78540 • Fase 5 a5 = 0. 68723 c5 = 0. 73632 b5 = 0. 78540

Solución aproximada de ecuaciones. 4

Fase 4 f (a4 ) = 0. 24242 f (c4 ) = 8. 5776 × 10−2 f (b4 ) = −7. 8295 × 10−2 Fase 5 f (a5 ) = 8. 5776 × 10−2 f (c5 ) = 4. 6249 × 10−3 f (b5 ) = −7. 8295× 10−2

⊕ ⊕ ª

a5 = 0. 68723 b5 = 0. 78540

⊕ ⊕ ª

a6 = 0. 73632 b6 = 0. 78540

En las siguientes fases, obtenemos c6 = 0.76085, c7 = 0.74858, c8 = 0.74247, c9 = 0.73938, c10 = 0.73784. El valor exacto de la solución con 5 decimales es α = 0.73909. El error en la fase 10 es |e10 | = |α − c10 | = 0.00125. Tenemos, por lo tanto, 2 decimales exactos. ¤

1.3

Cota superior de errorProposición 1.1 En la fase n, el error del método de la bisección cumple |en | = |α − cn | ≤ Demostración. En la fase n se cumple |en | = |α − cn | ≤ bn − an 2 b1 − a1 . 2n

Resumen y ejemplos

Solución aproximada de ecuaciones. 5

Además, la longitud del intervalo se reduce a la mitad en cada fase bn − an = Por lo tanto, tenemos b1 − a1 , 2 b1 − a1 b2 − a2 = , |e2 | ≤ 2 4 b3 − a3 b2 − a2...