Calculo Numericos

TEMA 0 Derivaci´n e Integraci´n Num´ricas o o e
1. Introducci´n o

La derivaci´n y la integraci´n son dos conceptos del c´lculo infinitesimal que se definen o o a por un proceso de paso al l´ ımite. Como este proceso no se puede reproducir en un ordenador, debemos desarrollar t´cnicas que nos permitan aproximarlo. La mayor´ de estas t´cnicas se e ıa e basan en la siguiente propiedad: Sea L(f )un funcional lineal (que aplica a cada funci´n un n´mero real), tal como la o u derivada en un punto a, L(f ) = f (a), o la integral definida en un intervalo cerrado [a, b], b L(f ) = a f (x)dx. Si aproximamos f por otra funci´n p m´s f´cil de calcular (como su o a a polinomio interpolador en ciertos nodos elegidos a priori), entonces se tiene que: L(f ) = L(p) + L(e) , (1)

donde e es el errorque se comete al aproximar f por p, e(x) = f (x) − p(x). Para el caso de la derivaci´n se tendr´: f (a) = p (a) + e (a), y para el caso de la integraci´n tendremos: o a o b b b f (x)dx = a p(x)dx + a e(x)dx. a Si aproximamos f por su polinomio interpolador pn de grado n en n + 1 puntos previamente seleccionados, podemos utilizar la expresi´n de Lagrange del polinomio interpolador, o n pn (x) = i=0 f(xi )Li (x) para obtener el valor aproximado de L(f ):
n n

L(f ) ≈ L(f ) ≡ L(pn ) =
i=0

f (xi )L(Li (x)) =
i=0

Ai f (xi ) .

(2)

Como vemos, la expresi´n que se obtiene es muy sencilla, tan s´lo deben calcularse los o o coeficientes Ai = L(Li (x)) sobre los polinomios interpoladores de Lagrange. La expresi´n del o error L(en ) se estudiar´ con detalle en las secciones siguientes.a En la pr´ctica no se utilizan los polinomios de Lagrange para calcular los coeficientes a Ai , sino que se utiliza la forma de Newton, u otros m´todos como desarrollos de Taylor o e el m´todo de los coeficientes indeterminados, donde los Ai se calculan imponiendo que la e f´rmula sea exacta para polinomios de un cierto grado. Se dice que una f´rmula L(f ) ≈ o o n k k L(f ) = i=0 Ai f (xi ) esexacta hasta orden r si L(x ) = L(x ) para k = 0, 1, . . . , r y r+1 L(x ) = L(xr+1 ) (se puede demostrar que las f´rmulas L(f ) ≈ n Ai f (xi ) son exactas o i=0 hasta orden n si y s´lo si son de tipo interpolatorio). o

1.1.

F´rmulas de Extrapolaci´n o o

Antes de pasar a estudiar las distintas f´rmulas de derivaci´n o integraci´n num´ricas, o o o e consideraremos una t´cnica que permiteobtener una mejor aproximaci´n a partir de unos e o valores aproximados para L(f ). Dada una f´rmula aproximada L(f ) ≈ Lh (f ), dependiendo de un par´metro h de forma o a que cuando h → 0 se tenga que Lh (f ) → L(f ), consideramos que hemos calculado una serie 1

de valores de G(h) ≡ Lh (f ) en h, h/2, h/4, . . . h/2k . Se trata de, a partir de estos valores, obtener una aproximaci´n mejor quetodos ellos que se aproxime al valor exacto G(0) = L(f ). o Para ello, supongamos que se conoce el desarrollo en potencias de h de G(h) (al menos para h muy peque˜o), n G(h) = g0 + g1 hp1 + g2 hp2 + · · · h → 0, (3)

con 0 < p1 < p2 < · · ·. Entonces podemos construir la siguiente sucesi´n de funciones Gn (h), o definidas recursivamente por: G1 (h) = G(h) , Gn+1 (h) = 2pn Gn (h) − Gn (2h) , 2pn − 1(n)

(4)

que verifican el siguiente desarrollo en potencias de h, Gn (h) = g0 + g1 hpn + · · · cuando h → 0. Es decir, las funciones Gn (h) convergen mucho m´s r´pidamente al valor exacto a a g0 = L(f ) que la original G(h).

2.

Derivaci´n Num´rica o e

Veamos algunas reglas de derivaci´n num´rica usuales junto con la expresi´n del error. o e o Antes de nada, hemos de advertir a losalumnos de que el problema de la derivac´n n´merica o u es intr´ ınsecamente mal condicionado, tal y como se coment´ en el cap´ o ıtulo primero, adem´s a de ser num´ricamente inestable, como veremos al final de esta secci´n. e o Tomando la forma de Newton del polinomio interpolador y de su error, tendremos que f (x) = pn (x) + f [x0 , x1 , . . . , xn , x]Ψn+1 (x), donde Ψn+1 = n (x − xi ). Derivando...