calculo vestorial
Páginas: 15 (3563 palabras)
Publicado: 19 de febrero de 2014
UNIDAD 5 INTEGRACIÓN
5.1 INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACIÓN.
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en elproceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René descartes, Isaac newton, GottfriedLeibniz e IsaacBarrow. Los trabajos de este último y los aportes de newton generaron el teoremafundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral
Es igual al área de la región del plano (x,y) limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.5.2 INTEGRAL DE LÍNEA
Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes en el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno.
La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integralcurvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva).
Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos.
Muchasfórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:
Que tiene su paralelismo en la integral de línea
Que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un caminocontinuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.
La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.
En matemática, una integral delínea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;
El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función(campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;
ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.
TRABAJANDO INTEGRALES DE LÍNEA
A la hora de trabajar integrales de línea debemos, considerar los siguientes pasos, pararealizar con éxito nuestro cálculo:
Primero debemos parame trizar la curva sobre la cual estamos trabajando:
Luego trabajamos la función a evaluar, sustituyendo el resultado de la parametrización en dicha función. He integramos:
Luego sustituimos ds por:
Teniendo así lo siguiente:
5.3 INTEGRALES ITERADAS...
5.1 INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACIÓN.
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en elproceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René descartes, Isaac newton, GottfriedLeibniz e IsaacBarrow. Los trabajos de este último y los aportes de newton generaron el teoremafundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral
Es igual al área de la región del plano (x,y) limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.5.2 INTEGRAL DE LÍNEA
Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes en el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno.
La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integralcurvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva).
Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos.
Muchasfórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:
Que tiene su paralelismo en la integral de línea
Que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un caminocontinuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.
La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.
En matemática, una integral delínea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;
El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función(campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;
ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.
TRABAJANDO INTEGRALES DE LÍNEA
A la hora de trabajar integrales de línea debemos, considerar los siguientes pasos, pararealizar con éxito nuestro cálculo:
Primero debemos parame trizar la curva sobre la cual estamos trabajando:
Luego trabajamos la función a evaluar, sustituyendo el resultado de la parametrización en dicha función. He integramos:
Luego sustituimos ds por:
Teniendo así lo siguiente:
5.3 INTEGRALES ITERADAS...
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