Calculo2

La Integral Definida-Usando la técnica de Integración por Partes.-

a

Determinar la integral definida ∫ f ( x). g´( x) dx , bosquejar el área representada por
b

u

dv

la curva y las rectas x = a y x = b, con respecto el eje x , aplicando el método de
integración por partes de cada uno de los siguientes problemas:
2

Ejemplo 1 ∫ ln ( 6 x ) dx
1

Usemos la técnica desustitución o cambio de variables


 Por sustitición



2
t = 6(2) = 12 

∫ ln ( 6 x ) dx = t = 6 x → t = 6(1) = 6 

1




dt
 dt = 6 dx → 6 = dx 



Como hicimos una sustitución, también cambiamos los límites de integración
2
1 12
Nos queda : ∫ ln ( 6 x ) dx = ∫ ln t dt
66
1
usemos ahora la técnica de integración por partes
12
1 12
1
ln t dt = uv − ∫ vdu(1)
6 ∫6 u dv 6
6

(

u = ln t → du =

)

dt
t

(2)

dv = dt → ∫ dv = ∫ dt → v = t
Sustituimos 2 en 1, simplificamos y luego evalamos:
1 12
1
dt 
∫6 ln t dt = 6  t.ln t − ∫ t t 
6


u dv

12
6

1
= ( t.ln t − t )
6

12
=
6

1
1
(12.ln12 − 12 ) − ( 6.ln 6 − 6 ) =
6
6

= 2 ln12 − 2 − ln 6 + 1 = 2 ln12 − ln 6 − 1 ≈ 2.17805

Lcdo. Eliezer Montoyahttp://elimath.jimdo.com/

1

La Integral Definida-Usando la técnica de Integración por Partes.-

El área de la expresión buscada viene dada por la gráfica siguiente:

1

Ejemplo 2:

∫ x e dx
2x

0

Usemos la técnica de integración por partes -Recordemos que para seleccionar
¿Quién es u? - usamos la regla nemotécnica I.L.A.T.E. (según el orden las
funciones: Inversastrigonometricas, Logarítmicas, Algebraicas o
Polinomiales, Trigonométricas, Exponenciales) ya que tenemos un producto de
dos funciones en nuestro ejemplo tenemos el producto de una polinomial o
algebraica x 2 por otra función exponencial (ex):
1
1
1


2x
x e dx =  u.v − ∫ vdu  (1)
∫ u dv 

0
0
0


u = x 2 → du = 2 x.dx
dv = e x dx → v = e x
2x
2x
dx
∫ xu e dv =  x e

0
1

( 2 ) Sustituimos 2 en 1, nos queda:

1
1

− 2 ∫ xe x dx  = e − 2 ∫ xe x dx

0
0
0


1

(A)

Nuevamente aplicamos integración por partes en (A):

Lcdo. Eliezer Montoya

http://elimath.jimdo.com/

2

La Integral Definida-Usando la técnica de Integración por Partes.-

1
11

−2 ∫ x e x dx = −2  uv − ∫ vdu  (1)


dv
0u
 00


u = x → du = dx
dv= e x dx → v = e x
1

−2 ∫ x e x dx = 2  xe x

dv
0u


( 2)

Sustituimos 2 en 1

1

− ∫ e x dx  = −2e + 2e − 2 (B)

0
0


1

Sustituimos (B) en (A):
1
1
1
 2x1

2x
x
x
dx
∫ xu e dv =  x e − 2∫ xe dx  = e − 2∫ xe dx = ( e − 2 ) unidades de área = 0.7182


0
0
0
0



La gráfica de la función hecha en el software matemático funciones paraWindows de Jordi Lagares Roset, http://www.xtec.es/jlagares nos muestra el
área buscada por las rectas x =1 y x = 0

1

Ejemplo 3.

∫ sin

x dx

0

Ataquemos la integral muda, esta vez no cambiaremos los limites de integración,
apoyados de la técnica de sustitución o cambio de variables observamos que el

Lcdo. Eliezer Montoya

http://elimath.jimdo.com/

3

La IntegralDefinida-Usando la técnica de Integración por Partes.-

diferencial no es igual que el buscado, por tanto, multiplicamos y dividimos por
x
Solución: Eliezer Montoya



 Por sustitución



x
sin x dx ⇒ t = x
sin x dx ≡ 2 ∫ t.sin t dt
⇒∫
∫
x


dx
dx
 dt =

→ 2dt =

2x
x


La integral que nos queda ahora la resolvemos a través de la técnica
integración porpartes (Recordemos ILATE-para selecionar u ):
2 ∫ t .sin t dt = 2 u.v − ∫ v.du  (1)


u
dv

u = t → du = dt
dv = sin tdt → v = ∫ sin tdt = − cos t

(2)

Sustiyuyendo (2) en (1):
2 ∫ t .sin t dt = 2  −t cos t − ∫ (− cos t ) dt  = −2t cos t + 2 ∫ cos tdt = −2t cos t + 2 sin t + C


u
dv

2 ∫ t sin t dt = 2 ( sin t − t cos t ) + C
De volvemos la sustitución o el cambio de...