Caluclo

Repaso 2 Ejercicios resueltos

1.

Dada la siguiente integral


0 x
2

1 1

1 y

0

f ( x; y; z ) dz dy dx .

a. Describa gráficamente la región de integración b. Escriba otra integral iterada equivalente. c. Calcule el volumen del sólido descrito en la parte a). Solución

E  ( x ; y; z ) / 0  x  1,
z 1



x2  y  1 ,

0  z  1 y



z  1 y

1 1 xy

E  ( x ; y; z ) / 0  y  1,
1 y



y  x2

0 x 

y,

0  z  1 y



0 0

  0

1 y 2

f ( x; y ; z )dzdxdy
1 y 1 y 2

Para calcular el volumen, f ( x; y; z ) 1 luego:   0
0 0 1

1 dzdxdy

  (1  y ) dxdy   ( y  y )dy 
0

y

1

0 0

1 6

2.

Calcule

 y sen zds ,
C

donde C es la curva de intersección entre las superficiesS1 : x 2  y 2  1 y

S2 : x  cos z ; 0  z  
Solución

rt   cos t ; sent; t ; 0  t  
r' t    sen t ; cos t ; 1

r ' t  


2

 y sen zds   2 sen t sen t dt
C 0



 2


 sen
0

2

t dt

2 1  cos 2t dt 2  0




2  sen 2t  2   t    2  2 0 2

3.

Calcule

 y ds , donde C es la parte de la circunferencia
C

x 2  y 2  4que se encuentra en el primer

cuadrante. Solución

y

rt   2 cos t ; 2sent ; 0  t 
r' t    2 sen t ; 2 cos t r ' t   2



2

2 C


C

y ds 

 2 sen t (2)dt
0

2

2

x

  4(cost ) 0 2  4



4.

Sean las trayectorias C1 y C2 mostradas en la figura. a. Calcule el trabajo realizado por el campo
F( x; y; z )  0; e z ; y  z
xy 2 2

defuerza

sobre una partícula que se

mueve desde el punto (1; 1; 0) hasta el punto (0; 1; 1) por la trayectoria recta C1. Solución
C1 : rt   1  t ; 1; t ;
Fr (t )  0; e1t t 2 ; 1  t

0  t 1

r' t    1; 0; 1

 F  dr   Fr (t ) r' t dt   (1  t ) dt
C1 0 0

1

1

t

t 2

2 1

 1

0

1 3   1,5 2 2

b. Calcule el trabajo realizado por el campode fuerza G( x; y; z )  ye z ; xe z ; xye z  3 sobre una partícula que se mueve desde el punto (1; 1; 0) hasta el punto (0; 1; 1) por la trayectoria C2. Solución:

i rotF   x ye z

j  y

k  z

 0; 0; 0  f / F  f

xe z xye z  3

f y x; y; z   xe z  h y  y; z   xe z  h y  y; z   0  h y; z   g z 
f z x; y; z   xye z  g ' z   xye z  3  g ' z   3 g z   3z  c f x; y; z   xye z  3z  c

f x x; y; z   ye z  f x; y; z   xye z  h y; z 

f x; y; z   xye z  g z 

 F  dr  f 0; 1; 1  f 1; 1; 0  3  1  2
C2

5.

Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza F( x; y; z )  ye z  1; xe z  2; xye z  3 sobre una partícula que se mueve desde el punto A(2; 0; 0) hasta el punto B(1; 0; 3) por latrayectoria C1- C2- C3 ,de dos maneras distintas. z Solución: 3

i rotF   x

j  y

k  z

B

 0; 0; 0  f / F  f

C3 C2 2 C1

ye z  1 xe z  2 xye z  3
A 2 Método 1 Hallando una función potencial x

y

f x x; y; z   ye z  f x; y; z   xye z  x  h y; z 
f x; y; z   xye z  x  2 y  g z 

f y x; y; z   xe z  hy  y; z   xe z  2  hy  y; z   2 h y; z   2 y  g z 

f z x; y; z   xye z  g ' z   xye z  3  g ' z   3  g z   3z  c f x; y; z   xye z  x  2 y  3z  c

 F  dr  f 1; 0; 3  f 2; 0; 0  10  2  8
C

Método 2 Cambio de trayectoria. Sea C4 al segmento que une A con B:

C4 : rt   2  t; 0; 3t ; 0  t  1 r' t    1; 0 ; 3
1

Frt   1; 2  t  e3t  2 ; 3

 F  dr   Frt r' t  d t 
C4 0

  1  9 dt 
0

1

8

6.

Calcule

 sen
C

5

(ln(x  1))  4 y dx  6 x  y 3 arctan e y dy , donde C es la curva que bordea al







rectángulo ( x; y)   2 / 0  x  1, 0  y  2 , orientada en sentido anti horario. Solución
P   sen 5 (ln(x  1))  4 y  4 y y





y 2





 sen
1 x
C

Q   6 x  y 3...