Caluclo derivadas

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UNIDAD IV: DERIVACIÓN

OBJETIVO: El alumno calculará las derivadas de funciones reales de variable real.

4.1 Introducción.

4.2 Definición e interpretación de la derivada en un punto.

4.3 Derivación de la suma, producto, el cociente y la potencia de funciones.

4.4 Regla de la cadena. Teorema de la función inversa.

4.5 Derivación de las principales funciones: polinomiales,racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas circulares y sus inversas, trigonométricas hiperbólicas y sus inversas.

4.6 Derivación implícita.

4.1. Introducción.

El comprender el concepto de coeficiente diferencial es fundamental para la aplicación de la diferenciación en problemas prácticos.
La diferenciación se relaciona con razones de cambio, y el ejemplo más simple lo constituyela velocidad (ver en la unidad de límites, el problema de la velocidad y de la recta tangente).

4.2. Definición e interpretación de la derivada en un punto.

Se entiende por derivada de una función a la siguiente serie de símbolos:
[pic]

La derivada de la función [pic] con respecto a [pic] es:
[pic]

Por lo tanto, analíticamente una derivada es un límite y existirá en la medida en queexista el límite. Nótese que la variable del límite es [pic].

Ejemplo: Derive por definición la función [pic]

La derivación por definición no es la que se emplea en la práctica, se utilizan técnicas y fórmulas mucho más simples y rápidas.
Para que exista la derivada de una función, esta debe ser continua y no contener puntos angulosos o de esquina.
Si una función tiene derivada en [pic] sedice que la función es derivable en ese punto.
Si una función es derivable en [pic], entonces se puede concluir que la función está definida en [pic], además es continua en ese punto. Lo contrario no es correcto, ya que si una función está definida y es continua, no necesariamente es derivable.
Al estudio de las condiciones de la existencia de la derivada, se le llama derivabilidad.

Laderivada tiene diferentes interpretaciones y aplicaciones en la geometría, en la física y en otras ciencias.

4.3 Derivación de la suma, producto, el cociente y la potencia de funciones.

En la práctica para derivar funciones, es muy conveniente el uso de la TABLA DE DERIVADAS. (Anexar a sus apuntes el formulario de derivadas). Las fórmulas pueden demostrarse por definición.
Como la variableindependiente es [pic]en las funciones, se usará la notación [pic]y [pic]para una función y su respectiva derivada.

REGLAS DE DIFERENCIACIÓN I: DE LA POTENCIA Y DE LA SUMA.

Regla de la potencia:

Si [pic]es un entero positivo, entonces:
[pic][pic][pic]
Para derivar se antepone la potencia, se disminuye en 1 el exponente.

Ejercicio: Derivar las siguientes funciones.
[pic][pic]
[pic]
[pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic] [pic]

Función constante.

Si [pic] es una función constante, entonces:
[pic]

Ejercicio: Derivar las siguientes funciones.

[pic]

La derivada de toda función constante es cero.

Derivación de constante por función.

Si [pic] es una constante cualquiera y [pic]es diferenciable, entonces:
[pic]Ejercicio: Derivar las siguientes funciones.

[pic]

La constante que multiplica a una función, multiplica a la derivada de la función.

Derivación de exponenciales.

Si [pic]es una función exponencial, entonces su derivada es:

[pic]

Ejercicio: Derivar las siguientes funciones.

[pic]

La derivada de una función exponencial, es la misma función exponencial por el logaritmo de subase.

Regla de la suma.

Si [pic]y [pic] son funciones diferenciables, entonces:

[pic]
Ejercicio: Derivar las siguientes funciones.
[pic]

La derivada de una suma es la suma de las derivadas.

REGLAS DE DIFERENCIACIÓN II: DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE.

Regla del producto.

Si [pic]y [pic] son funciones diferenciables, entonces:
[pic]
Generalmente se memoriza, así: la primera...
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