Campana de Gauss

 
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Versión: Septiembre 2012
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 Distribución normal 

 
por Oliverio Ramírez

La distribución de probabilidad más importante es sin duda la distribución normal (o gaussiana), la cual
es de tipo continuo. La distribución de probabilidad para la variable aleatoria normal , tiene la siguiente
expresión matemática:

f (x ) =

1
e
σ 2π x−µ 
−1 / 2 

 σ 

2

En donde,
π = constante pi (valor aproximado 3.141592).
e = constante matemática (aproximadamente igual a 2.718281).
μ = representa la media de la población.
σ = desviación estándar de la población,
X = es cualquier valor de la variable aleatoria continua.

En esta ecuación se observa que la función incluye dos
constantes (π y e), por lo que el valorde la probabilidad de una
variable x, sólo dependerá de la media (μ) y de la desviación
estándar (σ).
Su gráfica, que se muestra a continuación, tiene forma de
campana, por lo que algunos le llaman “campana de Gauss”, en
honor al matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss.
Figura 1.

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©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, nitransmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

 
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Figura. 2.

La mitad del área dela curva localizada por encima de la media (μ), representa la mitad de las
observaciones, mientras que la otra mitad la representa el área situada debajo de la media Es
importante señalar que el área total limitada por la campana y el eje x es 1 y por eso, cuando se desea
conocer la probabilidad de que un valor x se encuentre entre dos puntos a y b, es necesario calcular el
área bajo la curva.Si se pretende hacer un estudio acerca de una población a partir de la distribución de probabilidad
asociada a la variable aleatoria normal, es necesario conocer la media (μ) y la varianza (σ2) de la
distribución, pero debido a que éstos dependen del problema específico bajo estudio, será necesario
determinar las probabilidades para cada distribución.
Para la Universidad con una media de 165centímetros, toma como ejemplo la campana de Gauss y si
cambias la forma en como se dispersan los datos, es decir, si supones que la menor estatura medida
es 140 y la mayor es 190 centímetros, la campana se aplanará y se extenderá. El comportamiento
original se muestra en la gráfica en rojo, la gráfica con los cambios está en azul.

Figura. 3. Gráfica de Gauss, comportamiento Original.Figura. 4. Gráfica de Gauss, comportamiento Modificado

.

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Para evitar calcular la probabilidad para distintas “campanas”, la variable aleatoria x se acostumbra
expresar en unidades de la desviación estándar; la fórmula para llevar a cabo este cambio de variable
es,

z=

x−µ

σ

Usando este cambio de variable, laecuación para la distribución de probabilidad se convierte en:

f (x ) =

1 − 12 z 2
e
2π

En esta ecuación, z se distribuye normalmente con media igual a cero ( ) y varianza igual a 1. La gráfica
de esta curva normal estandarizada o tipificada se muestra a continuación:

Figura. 5. Curva Normal Estandarizada

En la gráfica se han señalado las áreas comprendidas entre z= -1 hasta z= +1,...