Campo Vectorial

Campo vectorial
Matemáticamente se define un campo vectorial como una función vectorial de las coordenadas o como un caso especial de una transformación no necesariamente lineal. , en donde representa el espacio vectorial que hace las veces de dominio y el espacio vectorial que actúa como rango.

El campo ilustrado en la ecuación anterior es un campo vectorial , dado que la función vectorialtiene tres componentes y cada componente es una función de tres variables independientes.
Cuando se modela la distribución de esfuerzos en una estructura, la distribución de fuerzas de naturaleza electromagnética o gravitatoria en el espacio, se hace usando campos vectoriales.
Otros ejemplos de campos vectoriales son las funciones de velocidad asociadas a las trayectorias de las partículas odiferenciales de volumen de una sustancia en condiciones de flujo bien sea laminar o turbulento.
El gradiente de un campo escalar, constituye un ejemplo adicional de campo vectorial, dado que la magnitud y dirección del gradiente de un campo escalar es una función de las coordenadas
Ejercicios
. Represente gráficamente los campos vectoriales definidos de la manera que se muestra a continuación:a) F:ℜ2→ℜ2/F(x,y) = (−y,x)
b) G:ℜ3→ℜ3/G(x, y, z) = (−y, x, z)

Solución.
a) Para representar este campo vectorial se evaluará algunos puntos (x, y) en la función
F(x,y), como por ejemplo F (1,1) = (−1,1) , F (−1,1) = (−1,−1) , F (−1,−1) = (1,−1) y
F(1,−1)=(1,1). Luego tomamos, el primer vector resultante (−1,1) y se grafica teniendo como punto inicial al punto (1,1) . Aplicandosucesivamente este procedimiento con los otros vectores se obtiene la representación gráfica del campo vectorial que se muestra en la
Figura

. Representación gráfica de un campo vectorial en el plano.

b) Para obtener la representación gráfica de este campo vectorial se evaluarán algunos
puntos (x,y,z) en la función G(x,y,z) , obteniéndose G(1,1,1)=(−1,1,1),
G(−1,1,1)=(−1,−1,1), G(−1,−1,1)=(1,−1,1) y G(1,−1,1)=(1,1,1) . Luego para representar el primer vector resultante (−1,1,1) , se grafica, teniendo como punto inicial al punto (1,1,1). Sucesivamente se dibujan los demás vectores resultantes para obtener la representación gráfica del campo vectorial que se muestra en la Figura

Representación gráfica de un campo vectorial en el espacio tridimensional
Integral de línea
Es aquellaintegral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva es cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
* el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
* el cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) quedescribe su volumen a lo largo de la curva,
* o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo
El teorema de Green
El teorema de Green establece la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada y simple, y una integraldoble sobre la región plana limitada por .
El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general Teorema de Stokes.
Este tipo de teoremas resulta muy útil ya que dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad mas simple entre poder integrar el campo directamente sobre lacurva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que este delimitando la curva.
Por otra parte, la relación así establecida entre la integral de la línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta, permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta función sobre la...