campo

´
LECCION

5

Diferenciaci´n Parcial
o

Una de las herramientas m´s poderosas del c´lculo es la diferenciaci´n, con la que se
a
a
o
estudia la forma en que los valores de una funci´n var´ con respecto a su variable,
o
ıan
mediante el c´lculo de la raz´n de cambio instant´nea en puntos de su dominio.
a
o
a
En la lecci´n 3, recurrimos a la diferenciaci´n para estudiar elcomportamiento
o
o
de funciones vectoriales, lo que nos permiti´ estudiar el movimiento de objetos en
o
˘
el espacio y la geometrAa de las curvas y las superficies. Para poder extender la
diferenciaci´n a funciones de varias variables recurriremos al estudio de la variaci´n
o
o
de funciones en direcciones determinadas. Es as´ que le damos sentido a la raz´n
ı
o
de cambio instantanea de unafunci´n de varias variables en un punto de su dominio.
o
Con el prop´sito de precisar lo que significa la raz´n de cambio instantanea de una
o
o
funci´n en un punto en una direcci´n determinada introduciremos a continuaci´n el
o
o
o
concepto de paso por el punto P en la direcci´n de un vector v . Sean P (a, b) un
o
punto en el plano, � un n´mero real positivo y v = �v1 , v2 � un vectorunitario. El
u
paso por el punto P en la direcci´n del vector v es la funci´n vectorial
o
o
pv : (−�, �) −→ R2
P
dada por
pv (t) = �a + v1 t, b + v2 t� .
P
73

74

´
´
LECCION 5. DIFERENCIACION PARCIAL

Sea f : D −→ R una funci´n definida en un subconjunto abierto D del plano, P (a, b)
o
un punto de D y v = �v1 , v2 � un vector unitario. La derivada direccional de f en el
dfpunto P (a, b) en la direcci´n de v , que se escribe como
o
(a, b) o como Dv f (a, b),
dv
se define por:
f (a + v1 t, b + v2 t) − f (a, b)
df
(a, b) = l´
ım
.
t→0
dv
t
df
simpre y cuando este l´
ımite exista. Obs´rvese que
e
(a, b) no es otra cosa que la
dv
v en t = 0:
derivada de f ◦ pP
�
�
�
df
d�
� f (pv (t)) = d � f (a + v1 t, b + v2 t).
(a, b) = �
P
dv
dt t=0
dt �t=0Claramente (−�, �), dominio del paso, debe ser tal que (a + v1 t, b + v2 t) ∈ D para
todo t. Podemos definir la funci´n derivada direccionalde f en la direcci´n de v que
o
o
df
se nota como
cuyo dominio es el conjunto de todos los puntos (x, y) de D para
dv
los cuales existe la derivada de f en (x, y) en la direcci´n de v.
o
Como para cada punto P (x, y) y direcci´n fija v la derivadadireccional es la derivada
o
de una funci´n de una sola variable, es natural que se cumplan todas las propiedades
o
algebraicas de las derivadas de funciones de una variable. Por ejemplo, se tiene que
df
dg
d(f + g)
(x, y) =
(x, y) +
(x, y)
dv
dv
dv
y

df
dg
d(f g)
(x, y) =
g(x, y) + f (x, y).
dv
dv
dv
Las derivadas direccionales de f en las direcciones de los vectores i yj se conocen
como las derivadas parciales de f con respecto a x y a y respectivamente, y se suele
escribir:
∂f
df
∂f
df
(x, y) =
(x, y),
(x, y) =
(x, y).
di
∂x
dj
∂y
Como veremos m´s adelante todas las derivadas direccionales de funciones diferena
ciables se van a poder expresar en t´rminos de las derivadas parciales y de aqu´ su
e
ı
importancia.
Veamos un ejemplo. Sea f : R2−→ R definida por f (x, y) = x3 − 2y 2 y calculemos
�√ √ �
df
(x, y) en los casos en que v = 22 , 22 , v =i y v =j . Tenemos que :
la derivada
dv

75
En el caso en que v =

√ �
2
, 22 ,
2

�√

df
(x, y) =
dv
=

�
pv (t) = x +
P

�
d�
� (x +
dt �t=0

3

= 3

√

2
2 (x

√

2 2
2 x

en el caso en que v =i ,
df
(x, y) =
di
=

+

√

√
2
2 t, y

2 32 t)

√
2 2
2 t)

+

√

2
2 t

− 2(y +

−4

√

2
2 (y

+

�

y

√

2 2
2 t)

√

√
− 2 2y,

�

2 �
2 t)�t=0

�
d�
� (x + t)3 − 2y 2
dt �t=0

�
3(x + t)2 �t=0

= 3x2 =

∂f
(x, y),
∂x

y en el caso en que v =j ,
df
(x, y) =
dj
=

�
d�
� x3 − 2(y + t)2
dt �t=0

−4(y + t)|t=0

∂f
(x, y).
∂y
Obs´rvese que las derivadas...