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3. FUNCIONES CONTINUAS O CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
3.1.1. Concepto
En esencia, una función es continua si su gráfica es una línea seguida, no interrumpida.
La definición matemática decontinuidad comprende las propiedades de los límites. En la definición de límite el valor de no se especifica; es decir este límite depende únicamente de los valores de en la vecindad de (o sea, cerca de), perono en el valor de .
Por consiguiente, puede ser o no ser igual a.
Si existe, y también existe el valor de, siendo igual a, entonces es continua en.
Es decir, se dice que una función es continua ensi:
Entonces se puede decir que una función f (X) es continua en (o sobre) un intervalo (o bien) si es continua en cada punto del intervalo en cuestión.
De la definición de continuidad se deduceque la gráfica de una función que es continua en un intervalo, es una línea ininterrumpida (es decir, una que se puede trazar sin levantar la pluma o lápiz del papel) sobre el espacio de ese intervalo,o también se hace posible trazar una curva con sólo situar unos pocos puntos y dibujar una línea con trazo ininterrumpido pasando por ellos, se justificará en el caso de varias clases de curvas.
Ejemplos; aplicación de la definición de continuidad
Ejemplo 1: Demostrar que f(x) = 5 es continua en 7.
Solución: debemos verificar que las tres condiciones se cumplan.
Primera, f (7) = 5, de modoque f está definida en x = 7.
Segunda, por tanto, f tiene limite cuando X —> 7
Tercerapor tanto f es continua en 7 (Véase la fig. 9.25)
Ejemplo 2: Demostrar que g(x) = x2 — 3 es continua en — 4.Solución: la función g está definida en x = — 4; g (—4) = 13. También:
Por tanto, g es continua en — 4. (Véase la fig. 9.26)
Decimos también que una función es continua en un intervalo si escontinua en cada punto de ese intervalo. En esta situación, la gráfica de la función es conexa sobre el intervalo por ejemplo, f(x) = x2 es continua en el intervalo [2,5], porque para cualquier función...