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9. Método Numérico
Consideremos la siguiente ecuación:
[9.1]
El primer paso de los residuos ponderados es asumir una función de prueba que contiene coeficientes desconocidos. Por ejemplo la función de prueba puede ser de la siguiente forma:
[9.2]
Esta función puede ser seleccionad como una solución aproximada del problema P, vemos que esta función satisface las condicionesde frontera.
La precisión de la función de prueba determina la precisión de la solución. Una vez elegida la función de prueba se calcula el residuo., sustituyendo la función de prueba en la ecuación diferencial. Así el residuo queda:
[9.3]
Ya que es distinta a la solución exacta el residuo no se desvanece, para todos los valores de x dentro del dominio. El próximo paso es determinarel coeficiente “a” tal que se optimice la solución. Se selecciona una función de peso  y el residuo se promedia sobre el intervalo I:
[9.4]
Ahora hay que decidir la función de peso, que puede variar dependiendo de la técnica que se quiere usar:
9.1 Método de la colocación
Se usa la función de Dirac definida de la siguiente manera: . Así de esta forma si xi = 0.5 se tiene:
[9.5]9.3 Método de los mínimos cuadrados
La función de prueba esta generada de la siguiente forma:
[9.6]
Aplicando esta función de peso y luego remplazando en [92] se tiene que:
a = 0.2305
9.4 Método de Garlekin
En este caso la función de peso viene dado por:
[9.7]
Usando la definición de la función de prueba en [90] se tiene que una vez reemplazando en [92] se tiene lossiguientes resultados:
[9.8]
Aquí hay que acordarse de que hay que evaluar la función de prueba en los puntos xi.
El método de los mínimos cuadrados produce una matriz simétrica independiente de la función de prueba. El método de Garlekin no siempre entrega una matriz simétrica y solo sucede bajo ciertas circunstancias.
El formalismo que acabamos de ver se llama formulación fuerte delmétodo de los residuos ponderados.
La formulación fuerte requiere de la evaluación de . Esto implica que la función de prueba tiene que ser dos veces derivable y la segunda derivada no puede hacerse cero.
Nuevamente veamos [9.4]:
[9.9]
Como podemos ver solo es necesaria una derivada en vez de dos. Esta formulación se llama la formulación débil. La ventaja que se presenta es que en el método deGarlekin si la función de peso y la función de prueba son iguales, y si el operador de la función de Garlekin es auto adjunto entonces la matriz que se tiene es una simétrica.
9.5 Función de prueba continúa a pedazos
Sin importar que tipo de formulación se use, la precisión de la solución numérica está asociada a la función de prueba. Sin embargo escoger una solución de prueba correcta sinconocer la solución exacta no es fácil. Esto se vuelve aun más importante si la solución tiene una gran variabilidad sobre el dominio. Para poder sobreponerse a estos problemas se usan funciones de prueba que sean continuas a pedazos.
Consideremos la siguiente función de prueba:
[9.10]
Usemos esta función de prueba y usemos la ecuación diferencial definida en [9.1]. Se tiene:
[9.11]Sea una función de prueba definido como donde a1 y a2 son dos constantes que tienen que determinarse. Las funciones 1 y 2 son dos funciones definidos como:
[9.12]
[9.13]
Ahora la función de prueba puede ser definida como:
[9.14]
Usando el método de Garlekin y usando las funciones de peso:
[9.15]
[9.16]
Resolviendo mediante los métodos de losresiduos ponderados se tiene finalmente que las constantes buscadas son: a1= 0.048 y a2=0.056. El resultado no hubiera sido posible si se hubiera usado la formulación fuerte.

9.6 La formulación de Garlekin del elemento finito
Como podemos ver el uso de funciones continuas a pedazos tiene su ventaja. Si aumentamos el número de subdominios para una función continua a pedazos, se puede...