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Identidades trigonométricas
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Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempreque se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α,otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Contenido[ocultar] * 1 Relaciones básicas * 2 Identidades del ángulo múltiple * 2.1 Identidades del ángulo doble, triple y medio * 2.2 Producto infinito de Euler * 3 Identidades para la reducción de exponentes * 4 Paso de producto a suma * 4.1 Deducción de la identidad * 5 Paso de suma a producto * 6 Paso de diferencia decuadrados a producto * 6.1 ¿De donde se origina? * 7 Eliminar seno y coseno * 8 Funciones trigonométricas inversas * 8.1 Composición de funciones trigonométricas * 9 Fórmula de productos infinitos * 10 Fórmula de Euler * 11 Historia * 12 Teorema del seno * 13 Demostración * 14 Aplicación * 15 Definiciones exponenciales * 16 Véase también * 17 Referencias *18 Enlaces externos |
[editar] Relaciones básicas
Relación pitagórica | |
Identidad de la razón | |
De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si , la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la única respuestacorrecta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.
Funciones trigonométricas en función de las otras cinco. |
sen | | | | | | |
cos | | | | | | |
tan | | | | | | |
cot | | | | | | |
sec | | | | | | |
csc | | | | | | |
De las definiciones de las funciones trigonométricas:

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica ogoniométrica (que tiene radio igual a 1):

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

y análogamente con las restantes funciones.
== Teoremas de la
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

Para ángulos complementarios:

Para ángulos opuestos:

[editar] Identidades del ángulo...