Cap 9 Transformacioneslineales 1

Escuela Superior Politecnica del Litoral

Algebra Lineal
Prof. Ing. Maria Nela Pastuizaca

Capitulo #8
Transformación lineal
Definición
Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W (T: V→W) es una funcion que asigna a cada vector vV un vector unico T(v)W y que satisface:
A.1)
A.2)

Ejemplo:



T es un operador lineal


No se cumple el primer axioma, por lo tanto T no eslineal.

Teorema:
Si T de V en W es una transformación lineal entonces:

La imagen del cero vector de V es el cero vector de W.

Demostración:


La imagen del inverso de X es el inverso de X.

Demostración:


La transformada de la combinación lineal es la combinación lineal de la transformada.

Demostración:
Inducción matemática
P(n)
1.





2.
Suponer: P(K)1



Ojo: en la inducción matemáticasolo se trata naturales.
Nota: porque no me asegura que se cumpla esto.

Ejercicio:
Sea una transformación lineal tal que

Determine

Ubicamos las combinaciones lineales en una matriz para obtener los



Otra manera de llegar a la misma respuesta es la siguiente:





Núcleo o kernel de una transformación lineal
Definición: sea T de V en W una transformación lineal entonces el núcleo de latransformación denotada por Nu(T) o Ker(T) se define como .

A la dimensión del núcleo de T se lo conoce como nulidad de T y se denota por .

Imagen o recorrido de una transformación
Definición: sea T de V en W una transformación lineal entonces el recorrido de la transformación denotada por Re(T) o Im(T) se lo define como .

A la dimensión de la imagen de T se lo conoce como rango de T y se denotapor .

Teorema:
Sea T de V en W una transformación lineal entonces:

1. El núcleo de T es un subespacio de V.
Demostración:
1) V es un E.V.








2)


2. El recorrido de T es un subespacio de V.

1)

2)


Re(T) es un subespacio de V.

Ejercicio:
Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.

a)





Sea P(x)=ax2+bx+c



Determine el núcleo, elrecorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.

b)







Determine el núcleo, el recorrido, la nulidad y el rango de la transformación dada.

c)



Representación matricial
Sea una transformación finita. Entonces existe una matriz única de mxn AT tal que T(x)=AT.x, x.

Dicha matriz se denomina, matriz de información correspondiente a T o representación matricial de T.
1)
Núcleo de latransformación=núcleo de la matriz asociada



Teorema:
Sea T de Rn en Rm una transformación lineal. Si AT es la matriz asociada a T, entonces:



Ejercicios:
Sea
;determine A(T), Nu(T), Im(T),, .


¿Como resolver el sistema?




Teorema:
Sea V un espacio vectorial de dimensión “n” y W un espacio vectorial de dimensión “m” y T:VW una transformación lineal sea: una base de V y una base de W, entoncesexiste una matriz única AT de mxn tal que:

Dicha matriz se denomina matriz asociada a la transformación con respecto a B1 y B2 y esta dada por:


Demostración:





Suponemos:






Ejercicio:

Determine la matriz asociada a la transformación:


Determine A(T) con respecto a:

Solución:



T:

Hallar A(T) con respecto a:

a) base canónica


Solución:




Respuesta:

Sea



Determine:


Solución:a)








b)


c)




Isomorfismo
Sea una transformación lineal, se dice que T es un isomorfismo si y solo si T es 1a1 y sobre.

Transformación invectiva(1a1):
Sea una transformación lineal se dice que T es 1a1 si y solo si el núcleo de T es igual


Transformación sobrejectiva(sobre):
Sea una transformación lineal. Se dice que T es sobrejectiva si para todo existe al menos un tal que .


Esdecir T es sobrejectiva si y solo si la imagen de T=W.

Ejemplo:
Determine si la transformación dada es 1a1, sobre, o ambas.

Solución:

T es 1a1.


Teorema
Sea una transformación lineal, si:

Entonces:
1) si T es 1a1 entonces es sobre.
2) Si n es sobre entonces T es 1a1.

Ejercicio:
Determine si T es isomorfismo:

a)


b)
Solución: las dimensiones no son iguales.



T no es isomorfismo....