Capitulo 2 Ejercicios Practicos

1. In planning an office network study, the following draw sequential sampling scheme was proposed for selecting a random sample of two nonadjacent office hour intervals from the eight intervals 9 − 10, 10 − 11, ..., 16 − 17 (labeled 1, 2, ..., 8).

1. Draw the first interval for the sample with equal probability from the eight intervals. 2. Draw, without replacement, the second hour interval withequal probability from the intervals not adjacent in time to the one selected in the first draw.

a) Determine the first-order inclusion probabilities. La primera hora se selecciona con probabilidad 1/8 pero la segunda hora se extrae con probabilidad igual a 1/6, si la primera seleccionada fue la hora 1 o la hora 8 si no la probabilidad es igual a 1/5. De esta forma las 64 posibles muestras tienenlas probabilidades que se presentan en la siguiente tabla. Horas 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 0 1/40 1/40 1/40 1/40 1/40 1/48 2 0 0 0 1/40 1/40 1/40 1/40 1/48 3 1/48 0 0 0 1/40 1/40 1/40 1/48 4 1/48 1/40 0 0 0 1/40 1/40 1/48 5 1/48 1/40 1/40 0 0 0 1/40 1/48 6 1/48 1/40 1/40 1/40 0 0 0 1/48 7 1/48 1/40 1/40 1/40 1/40 0 0 0 8 1/48 1/40 1/40 1/40 1/40 1/40 0 0


1

Con la tabla anterior encontramos lasprobabilidades de inclusi´n de primer orden son: o

π1 = π8 = 6(1/48) + 5(1/40) + (1/48) = 65/240 π2 = π7 = 9(1/40) + (1/48) = 59/240 π3 = π4 = π5 = π6 = 5(1/40) + 2(1/48) + 3(1/40) = 58/240 b) Determine the second-order inclusion probabilities. Is the design induced by the proposed sampling scheme measurable? Las probabilidades de inclusi´n de segundo orden se muestran a continuaci´n y fueroncalculadas o o con la tabla expuesta al comienzo.  (1/48)+(1/40)=11/240 para las parejas (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),     (1, 7), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (7, 1), (8, 2), (8, 3),      (8, 4), (8, 5), (8, 6), (2, 8), (3, 8), (4, 8), (5, 8), (6, 8).         0  para las parejas (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2),      (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5), (6,7), (7, 6),  = (7, 8) y (8, 7).       2/48 = 10/240  para las parejas (1, 8), (8, 1).         2/40 = 12/240  para las parejas (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7),     (7, 5), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (6, 4), (7, 4), (4, 6), (4, 7),     (5, 3), (6, 3), (7, 3), (5, 7), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (7, 2).

πkl

Este dise˜o muestra no ser medible ya que tenemos algunos πkl = 0, loque hace que el dise˜o no n n sea medible.

2

c) Determine the covariances of the sample membership indicators. La siguiente matriz muestra las covarianzas de las variables indicadoras Ik que se definen como Cov(Ik , Il ) = πkl − πk πl = ∆kl .                                         ∆kl 1 2 3 4 5 6 7 8 1 455 2304 −767 11520 −113 5760 −113 5760 −1135760 −113 5760 −239 11520 −73 2304 2 −767 11520 10679 57600 −1711 28800 −271 28800 −271 28800 −271 28800 −601 57600 −239 11520 3 −113 5760 −1711 28800 26339 14400 −841 14400 −121 14400 −121 14400 −271 28800 −113 5760 4 −113 5760 −271 28800 −841 14400 2639 14400 −841 14400 −121 14400 −271 28800 −113 5760 5 −113 5760 −271 28800 −121 14400 −841 14400 2639 14400 −841 14400 −271 28800 −113 5760 6 −1135760 −271 28800 −121 14400 −121 14400 −841 14400 2639 14400 −1711 28800 −113 5760 7 −239 11520 −601 57600 −271 28800 −271 28800 −271 28800 −1711 28800 10679 57600 −767 11520 8 −73 2304 −239 11520 −113 5760 −113 5760 −113 5760 −113 5760 −767 11520 455 2304                                        

d ) Verify the Result 2,6,2 holds in the present application. Acontinuaci´n encontramos el resultado 2,6,2. o 1)
U

πk = n πkl = n(n − 1)
k=l U

2) 3)
k=l U

πkl = n(n − 1)πk

El primer resultado lo verificamos a continuaci´n: o πk =
U

2∗

65 240

+ 2∗

59 240

+ 4∗

58 240

=2=n

El segundo resultado lo verificamos de la siguiente manera: πkl =
k=l U

20 ∗

11 240

+ 2∗

10 240

+ 20 ∗

12 240

= 2 = n(n − 1)

3...