CAPITULO 7 Modif

Movimiento Armónico Simple. Problemas

OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE
PROBLEMAS RESUELTOS

LUIS FRANCISCO GARCÍA RUSSI

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE FÍSICA
BUCARAMANGA, NOVIEMBRE DE 2010

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Movimiento Armónico Simple. Problemas

DEDICATORIA
Esta obra está dedicada al Divino Maestro de Maestros. Al Padre Glorioso que destila el
dulcísimo bálsamo del Amor. Alescultor Grandioso que esculpiera con su voz la forma. A
Aquel, cuyo perfume es esencia de infinita sabiduría. Al Creador de este universo
fantástico, bañado de constelaciones polícromas y de estrellas rutilantes. Al Guía perfecto
y Protector Poderoso, que le permite a la humanidad nadar en las aguas cristalinas de la
felicidad, iluminadas por los resplandores diamantinos de la Verdad, la Justicia yla Paz. Al
Excelso Ingeniero Gobernador de la Mecánica Celeste, que esparce su fragancia cual lluvia
cargada de Bondad, Fe y Esperanza. Al Físico Majestuoso que perpetuara con sus leyes la
armonía, el peso y la medida. Al Matemático Sublime que colocara a cada cosa, número,
proporción y belleza prodigiosa. Al Artífice Maravilloso de tan rica gama de sabores, de
sonidos, de paisajes y colores. AlOmnipotente, al Omnisciente, al Todopoderoso y
siempre Omnipresente. Al único, al Inefable, al Preciosísimo Ser que nos regaló la vida. A
Dios, por el que todo fue hecho, al Arquitecto Supremo, al Soberano PADRE, HIJO y
ESPIRITU SANTO, también conocido como YO SOY, JEHOVÁ, JESÚS.

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OSCILADOR
ARMONICO SIMPLE

PROBLEMAS:

1. (1.54 seto) Un cilindro sólidohomogéneo de masa m se sujeta por medio de un resorte de
constante k lb/pul y reposa sobre un plano inclinado, como se muestra en la figura anexa.
Si el cilindro rueda sin deslizar, demuestre que su frecuencia de oscilación es
rad/seg.

SOLUCIÓN:

Cuando el sistema se encuentra en equilibrio estático, como se indica en la figura (1),

3

2𝑘/3𝑚

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la suma de losmomentos de fuerza respecto al punto A es igual a cero, es decir:
↺

𝜏𝐴

= 0: R m g sen𝜃0 - R 𝑇0 = 0

(1)

Si el sistema se desplaza un ángulo 𝜃 a partir de la posición de equilibrio, como se muestra en la
figura (2), la ecuación dinámica

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de rotación respecto al punto A viene dada por:
↺

𝜏𝐴

= 𝐼𝐴 𝛼 : mg sen (𝜃 + 𝜃0 ) – R (𝑇0 + T) sen (90 – 𝜃) = 𝐼𝐴

𝑑2𝜃𝑑𝑡 2

Pero:
sen (𝜃 + 𝜃0 ) ≈ sen 𝜃0
sen (90 – 𝜃) ≈ sen 90° = 1

Además, de acuerdo al teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia respect al eje
instantáneo de rotación viene dado por:

𝐼𝐴 = 𝐼𝑐.𝑚 + m 𝑅 2 =

1
2

3

𝑚 𝑅 2 + m𝑅 2 = 2 𝑚𝑅 2

Luego:

mg sen 𝜃0 − 𝑅 𝑇0 − 𝑅 𝑇 =

3
2

𝑚𝑅 2

𝑑2𝜃
𝑑𝑡 2

(2)

Insertando (1) en la ecuación (2), se obtiene:

-R T =

3
2

𝑚𝑅 2

𝑑2𝜃
𝑑𝑡 2

Pero, de la Ley deHooke:
T=kx=kR𝜃
Entonces:
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-R (k R 𝜃) =

3
2

𝑚𝑅 2

𝑑2𝜃
𝑑𝑡 2

Luego:

Dividiendo por

𝑑2𝜃

3
2

𝑚𝑅 2 𝑑𝑡 2 + k 𝑅 2 𝜃 = 0

3
2

𝑚𝑅 2 :

𝑑2𝜃
𝑑𝑡 2

+

2𝑘
3𝑚

𝜃=0

(3)

Por consiguiente, la ecuación (3), corresponde a la ecuación diferencial de un oscilador armónico
simple cuya frecuencia angular natural de oscilación está dada por:

𝑤0 =

2𝑘
3𝑚

2. (6.7Eisberg/Lerner) Un objeto realiza un movimiento armónico con una frecuencia de 5
𝐻𝑧 . En i= 0 s su desplazamiento es x( i = 0) = 10 cm y su velocidad v(i = 0) = -314 cm/s.
a. Utilice la información anterior para obtener una expresión analítica del deslazamiento
x(t) del objeto, su velocidad y su aceleración.
b. Exprese el desplazamiento en la forma x(t) = A cos (𝑤0 𝑡 + 𝛿) y determine los valores
de A y 𝛿 queestén de acuerdo con los dados del problema.
c. Calcule los valores máximos del desplazamiento x(t), la velocidad v(t) y la aceleración
a(t) del cuerpo.

SOLUCION:
a. La solución general de la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple es:

X(t) = 𝛽 cos 𝑤0 t + C sen𝑤0 𝑡

(1)

Derivando con respect al tiempo la ecuación (1), se obtiene la expresión para la velocidad así:

v(t) =...