Capitulo1 Algebra Vectorial 2015 I

INDICE
CAPÍTULO 1: ALGEBRA VECTORIAL ________________________________________ 3
Objetivos específicos________________________________________________________ 3
1.0.

Introducción ________________________________________________________ 3

1.1.

El espacio vectorial de las N-Plas de números reales ________________________ 3

1.2.

Definición de un vector_______________________________________________ 4

1.2.1.
1.2.2.

1.3.

Definición ________________________________________________________________ 4
Notación de un vector ______________________________________________________ 4

Espacios vectoriales __________________________________________________ 5

1.3.1. Igualdad de vectores _______________________________________________________ 5
1.3.2. Producto de un escalar por un vector_________________________________________ 5
1.3.2.1.
Definiciones derivadas de estas operaciones _________________________________ 6
1.3.3. Suma de vectores _________________________________________________________ 7
1.3.3.1.
Análisis del vector suma __________________________________________________ 8
1.3.3.2.
Casos de suma de vectores _______________________________________________ 8
1.3.3.3.Propiedades de la suma de vectores y del periodo de un escalar por un vector:
Axiomas de los espacios vectoriales _________________________________________________ 10
1.3.3.4.
Vector diferencia ______________________________________________________ 10
1.3.4. Problemas resueltos ______________________________________________________ 11
1.3.5. Problemas propuestos____________________________________________________ 13

1.4.

Producto escalar o producto interior ___________________________________ 16

1.4.1.
1.4.2.

1.5.

Propiedades _____________________________________________________________ 16
Desigualdad de Cauchy - Schwarz ____________________________________________ 16

Longitud o norma de un vector ________________________________________ 16

1.5.1.
1.5.2.

1.6.

Definición_______________________________________________________________ 17
Propiedades _____________________________________________________________ 17

Ortogonalidad de vectores ___________________________________________ 17

1.6.1.
1.6.2.

1.7.

Problemas resueltos ______________________________________________________ 18
Problemas propuestos ____________________________________________________ 21

Ángulo entre dosvectores y vector proyección ___________________________ 24

1.7.1.
1.7.2.

Ángulo entre vectores _____________________________________________________ 24
Vector proyección ________________________________________________________ 25

1.8.

Vectores coordenados unitarios _______________________________________ 26

1.9.

Ángulos y cosenos directores _________________________________________ 27

1.9.1.1.9.2.

1.10.

Ángulos directores ________________________________________________________ 27
Cosenos directores _______________________________________________________ 27

Vector unitario de un vector dado _____________________________________ 28

1.10.1.
1.10.2.

1.11.

Problemas resueltos ____________________________________________________ 28
Problemas propuestos__________________________________________________ 29

Producto vectorial o exterior __________________________________________ 32

1.11.1.
1.11.2.
1.11.3.
1.11.4.
1.11.5.

Definición ____________________________________________________________ 32
Propiedades __________________________________________________________ 32
Análisis del vector AxB __________________________________________________ 33
Problemas resueltos____________________________________________________ 34
Problemas resueltos ____________________________________________________ 36

1

1.12.

Producto mixto _____________________________________________________ 38

1.12.1.
1.12.2.
1.12.3.
1.12.4.
1.12.5.

Definición ____________________________________________________________ 38
Interpretación geométrica _______________________________________________ 38...