CAPITULO12-ae_ESTIMACION POR INTERVALOS DE CONFIANZA

Cap´ıtulo 12

Estimaci´
on por Intervalos de
Confianza
12.1.

Introducci´
on

Ya hemos introducido m´etodos de estimaci´on de par´ametros, pero generalmente a dicha estimaci´on se le debe acompa˜
nar de alguna medida de error. Es
decir, acompa˜
naremos la estimaci´on de un intervalo de la forma:
[θ(X1 , . . . , Xn ), θ(X1 , . . . , Xn )] ,
junto con una medida de confianza acercade que realmente el par´ametro este en
el intervalo.
Vemos que los extremos del intervalo son estad´ısticos, por tanto var´ıan de modo
aleatorio, y la longitud del intervalo tambi´en var´ıa de modo aleatorio. Obviamente,
buscamos intervalos de poca longitud y con alta confianza de que realmente se
encuentre ah´ı el par´ametro desconocido.
Definici´
on 12.1 Dado un intervalo de confianza[θ(X1 , . . . , Xn ), θ(X1 , . . . , Xn )]
tal que
Pr[θ(X1 , . . . , Xn ) ≤ θ ≤ θ(X1 , . . . , Xn )] = 1 − α ,
llamamos
coeficiente de confianza a 1 − α,
nivel de confianza a 100(1 − α) %.

276

(12.1)

12. Estimaci´
on por Intervalos de Confianza

277

De la definici´on anterior, vemos que se habla de un intervalo aleatorio, pues
los extremos son v.a.; el par´ametro desconocido quese est´a estudiando es θ; la
probabilidad de que el par´ametro este dentro del intervalo aleatorio (θ, θ) es 1 − α.
Y para una muestra concreta con
θ(x1 , . . . , xn ) = a

y

θ(x1 , . . . , xn ) = b ,

es incorrecto decir
Pr(a ≤ θ ≤ b) = 1 − α ,
pues el intervalo deja de ser aleatorio. Sin embargo, es verdad que
la probabilidad es 1 si θ ∈ [a, b]
la probabilidad es 0 si θ ∈
/ [a, b].As´ı, no hablamos de la probabilidad de que el par´ametro este dentro del intervalo,
sino del nivel de confianza que se tiene de que ´este este dentro del intervalo.
Ejemplo 12.1 Consideremos 100 muestras del mismo tama˜
no, y calculamos los
l´ımites del intervalo para cada muestra
a = θ(x1 , . . . , xn )

y

b = θ(x1 , . . . , xn ) ,

as´ı en promedio 100(1 − α) % de los intervalostiene en su interior el verdadero
valor de θ, y el resultante 100α % no lo contiene. As´ı, hablamos de (a, b) como el
intervalo de confianza al nivel de confianza del 100(1 − α) %.
Los intervalos de los que hemos venido hablando son bilaterales, pues tienen
dos extremos finitos.
Definici´
on 12.2 Llamamos intervalos unilaterales a los que tienen la forma
[θ(X1 , . . . , Xn ), +∞
−∞, θ(X1 ,. . . , Xn )]
La precisi´on de la estimaci´on por intervalos la da el coeficiente de confianza
1 − α y la amplitud del intervalo. Se tiene las siguiente relaciones
Para un coeficiente de confianza fijo, cuanto m´as peque˜
na es la longitud del
intervalo, mayor es la precisi´on.
Para una longitud del intervalo fija, cuanto mayor el coeficiente de confianza,
mayor la precisi´on.

12.Estimaci´
on por Intervalos de Confianza

12.2.

278

M´
etodos de construcci´
on de intervalos de confianza

Para la obtenci´on de intervalos de confianza se consideran
M´etodo pivotal, basado en el estudio de la distribuci´on muestral de una
funci´on del par´ametro desconocido, donde la distribuci´on no depende del
par´ametro desconocido.
M´etodo general de Neyman, basado en ladistribuci´on muestral de un estimador puntual del intervalo.
Aqu´ı solo explicaremos el m´etodo pivotal, pues es el que utilizaremos para
obtener intervalos de confianza.

12.2.1.

M´
etodo pivotal

Consideremos que la distribuci´on de la poblaci´on tiene f.d. F (x|θ) donde θ ∈ Θ
y θ es desconocido.
El m´etodo pivotal consiste en obtener una cantidad pivotal o pivote 1 que satisface:
1. Elpivote, T (X1 , . . . , Xn |θ), es funci´on de las observaciones muestrales y de
θ, de modo que para cada muestra solo depender´a de θ.
2. La distribuci´
on muestral del pivote T (X1 , . . . , Xn |θ) no depende del par´ametro
θ.
Este es el m´etodo que m´as utilizaremos para obtener algunos intervalos de
confianza.

12.3.

Intervalos de confianza en poblaciones normales

En esta...