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Correlación lineal;
En probabilidad y estadística, la correlación indica la fuerza y la dirección de una relación lineal y proporcionalidad entre dos variables estadísticas. Se considera que dos variables cuantitativas están correlacionadas cuando los valores de una de ellas varían sistemáticamente con respecto a los valores homónimos de la otra: si tenemos dos variables (A y B) existecorrelación si al aumentar los valores de A lo hacen también los de B y viceversa. La correlación entre dos variables no implica, por sí misma, ninguna relación de causalidad
Interpretados los valores muéstrales de dos variables aleatorias e , que pueden ser consideradas como vectores en un espacio a n dimensiones, pueden construirse los "vectores centrados" como:
e .
El coseno del ángulo alfa entreestos vectores es dada por la fórmula siguiente:

Pues es el coeficiente de correlación muestral de Pearson. El coeficiente de correlación es el coseno entre ambos vectores centrados:
* Si r = 1, el ángulo °, ambos vectores son colineales (paralelos).
* Si r = 0, el ángulo °, ambos vectores son ortogonales.
* Si r =-1, el ángulo °, ambos vectores son colineales de dirección opuesto.Más generalmente: .
Por supuesto, del punto vista geométrica, no hablamos de correlación lineal: el coeficiente de correlación tiene siempre un sentido, cualquiera que sea su valor entre -1 y 1. Nos informa de modo preciso, no tanto sobre el grado de dependencia entre las variables, que sobre su distancia angular en la hiperesfera a n dimensiones.

La Iconografía de las correlaciones es un métodode análisis multidimensional que reposa en esta idea. La correlacion lineal se da cuando en una nube de puntos estos se encuentran o se distribuyen alrededor de una recta.

Distribución del coeficiente de correlación:
El coeficiente de correlación muestral de una muestra es de hecho una varible aleatoria, eso significa que si repetimos un experimento o consideramos diferentes muestras seobtendrán valores diferentes y por tanto el coeficiente de correlación muestral calculado a partir de ellas tendrá valores ligeramente diferentes. Para muestras grandes la variación en dicho coeficiente será menor que para muestras pequeñas. R. A. Fisher fue el primero en determinar la distribución de probabilidad para el coeficiente de correlación.
Si las dos variables aleatorias que trata derelacionarse proceden de una distribución gaussiana bivariante entonces el coeficiente de correlación r sigue una distribución de probabilidad dada por:1 2

es la distribución gamma
es la función gaussiana hipergeométrica.
Nótese que , por tanto r es estimador sesgado de .
Puede obtenerse un estimador aproximado no sesgado resolviendo la ecuación:
for
Aunque, la solucón:

es subóptima. Se puedeobtener un estimador sesgado con mínima varianza para grandes valores de n, con sesgo de orden buscando el máximo de la expresión:
, i.e.
En el caso especial de que , la distribución original puede ser reescrita como:

donde es la función beta.

-coeficiente de correlación. Definición
En el caso de que se esté estudiando dos variables aleatorias x e y sobre una población estadística; elcoeficiente de correlación de Pearson se simboliza con la letra , siendo la expresión que nos permite calcularlo:

Donde:
* es la covarianza de
* es la desviación típica de la variable
* es la desviación típica de la variable
De manera análoga podemos calcular este coeficiente sobre un estadístico muestral, denotado como a:

[editar] Interpretación
El valor del índice decorrelación varía en el intervalo [-1,1]:
* Si r = 1, existe una correlación positiva perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables denominada relación directa: cuando una de ellas aumenta, la otra también lo hace en proporción constante.
* Si 0 < r < 1, existe una correlación positiva.
* Si r = 0, no existe relación lineal. Pero esto no necesariamente...