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Integrales múltiples

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS.

INTEGRALES DE LINEA

Desarrollo

Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, f (x, y) ó f (x, y, z).

Definición: Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacioentre el objeto definido por la ecuación y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por y una región T en el plano es igual a algúna integral doble, si es que la función f está definida en región T.
Sepuede dividir la región T en una partición interior formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en T. La norma de esta partición está dada por la diagonal más larga en las m subregiones.
Si se toma un punto que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio conuna magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación y la región T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximación mejora a medidaque el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo existe un tal que

para toda partición de la región T (que satisfaga ), y para todas las eleccionesposibles de en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:
Si f está definida en una región cerrada y acotada T del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de f sobre T está dada por:

siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que f es integrable con respecto a T.

Propiedades:
Propiedades
Las integralesmúltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales simples. Si f y g son funciones continuas en una región cerrada y acotada D en un espacio Rn y c una constante con respecto a todas las variables involucradas entonces se puede demostrar que:
1.

2.

3.
Si , entonces:

4.
Si , entonces:

5.
Sea D la unión entre dos regiones, D1 y D2, que no solapan entre sí, entonces:Integrales múltiples e Integrales iteradas
Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integralmúltiple. Si la expresión

se refiere a una integral iterada, la parte externa

es la integral con respecto a x de la función de x:

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sinimportar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

De una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a...
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