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1.- DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO.
 Es frecuente en el cálculo el tener que operar con desigualdades. Son de particular importancia las que se relaciona con la noción de valor absoluto. 
Si x es un número real, el valor absoluto de x es un número real no negativo que se designa por |x| y se define como sigue: 
El símbolo para el valor absoluto consiste en encerrar el                                   número entre barras      verticales                así:
              |+146 | = +146  y se lee “El valor absoluto de +146 es 146
el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 9 y de -9.
La importancia del valor absoluto es que está relacionado con lasnociones de de magnitud de distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos y lo podemos interpretar como la distancia “real” que separa un número entero  del cero dentro de la recta numérica, sin importar su dirección.  


2. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL.
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real  está definido por:

Por definición, el valor absolutode  siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real  es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto dela diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real. Ejemplo: Qué tan lejos está un número de cero.
"6" está a 6 de distancia del cero, pero "-6" también está a 6 de distancia del cero.
Así, el valor absoluto de 6 es 6, y el valor absoluto de -6 es 6 también.




3. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO.
-El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo conrespecto al 0 en la recta numérica.

-El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo. Este valor puede ser conocido también como el módulo del número.
-El valor absoluto de un número x se escribe como | x |, y se lee como “módulo de x”.
Las Propiedades Fundamentales Del Valor Absoluto son:
1.  Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
2. El valorabsoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
|a · b| = |a| ·|b|
|4 · (−2)| = |4| · |(−2)|      |− 8| = |4| · |2|    8 = 8
3. El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7
d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9| 

4.OPERACIONES CON EL VALOR ABSOLUTO.
Para multiplicar números enteros se multiplican sus valores absolutos, como si fueran números naturales, pero a continuación hay que prestar atención al signo del resultado:
Si todos los factores son positivos el resultado es positivo.
Si hay factores negativos hay que distinguir:
Si el número de factores negativos es par el resultado es positivo.
Ejemplos:
( + 4)x (+ 4) = |4| x |4| = 16 (todos los factores son positivos)
( + 4) x (- 4) = |4| x |4|= -16 (hay un factor negativo: luego el número de factores negativos es impar)
(- 4) x (- 4) = |4| x |4|= 16 (hay dos factores negativos: el número de factores negativos es par, por lo que el resultado es positivo)

5. FUNCIÓN DEL VALOR ABSOLUTO EN LOS NÚMEROS REALES:
Visto como función, el valor absolutose define distinguiendo según el signo del número:

Su representación gráfica coincide con la diagonal  y = - x  cuando x es negativo, y con la diagonal  y = x  cuando es positivo (ver figura).
En la enseñanza existen varias maneras de definir este concepto sencillo, dependiendo de la edad de los alumnos.

La notación suele ser así: (+7) para 7 y (-5) para -5, es decir que todos los...