Cartas

TEORIA DE INECUACIONES
En matemáticas, la teoría de ecuaciones es un conjunto de trabajos cuyo objetivo principal es la resolución de ecuaciones algebraicasNota 1 o equivalentes.Nota 2 Tal ecuación se escribe del modo siguiente:

en donde X designa la incógnita.
La «teoría de ecuaciones» es una expresión frecuentemente utilizada en historia de ciencias.1 Su estudio remonta a los primerostextos matemáticos conocidos;Nota 3 este primer acercamiento consistía en resolver ecuaciones en las que el grado del polinomio es estrictamente menor que cinco. Durante elRenacimiento y con el estudio de las ecuaciones cúbicas, nuevos tipos números son introducidos, inicialmente calificados de imaginarios, y despuésnúmeros complejos. Más tarde, estos números intervendrán en la resolución deecuacionesde segundo grado
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
< | menor que | 2x − 1 < 7 |
≤ | menor o igual que | 2x − 1 ≤ 7 |
> | mayor que | 2x − 1 > 7 |
≥ | mayor o igual que | 2x − 1 ≥ 7 |
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón.
Podemosexpresar la solución de la inecuación mediante:
1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.
2x − 1 < 7
2x < 8     x < 4

(-∞, 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8     x ≤ 4

(-∞, 4]
2x − 1 > 7
2x > 8     x > 4

(4, ∞)
2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8     x ≥ 4

[4, ∞)
 
 GEOMETRÍA ANALÍTICA
Línea recta
Si l es una recta no paralela al eje Y, y si P ¹ (X ¹, Y ¹) y P ² (X ², Y ²) son puntosdiferentes en l, entonces la pendiente o inclinación M de l esta dada por
Y ²- X ¹
M = —————
X ²- X ¹
Si l es paralela al eje, entonces la pendiente no esta definida.
Al numerador Y ²-Y ¹ en la formula para M, en ocasiones se le llama desnivel de P ¹ a P ². Mide el cambio vertical de dirección al avanzar de P ¹ a P ², y puede ser positivo, negativo o cero. El denominador X ² - X ¹ se llamacorrimiento de P ¹ a P ². Mide el cambio de dirección horizontal al recorrer de P ¹ a P ². El corrimiento puede ser positivo o negativo, pero nunca cero, porque l no es paralela al eje Y. usando esta terminología,
Desnivel de P ¹ a P ².
Pendiente de l = ————————————
Corrimiento de P ¹ a P ².
Cuando se determina la pendiente o inclinación de una recta l es irrelevante cual punto se denominara P ¹,y cual, P ²,
Y ²- Y ¹ Y ¹ - Y ²
————— = ——————
X ²- X ¹ X ¹ - X ²
En consecuencia, puede suponerse que los puntos se denominan de modo que X ¹ < X ², en este caso, X ²- X ¹ > 0, y por consiguiente, la pendiente es positiva, negativa o cero, dependiendo de si Y ² > Y ¹, Y ² < Y ¹ o bien Y ² = Y ¹. La pendiente de la recta mostrada en la grafica (i) es positiva, en tanto es negativala pendiente de la recta mostrada en (ii) de la grafica.
Una recta horizontal es una recta paralela al eje X. obsérvese que la recta es horizontal si y solo si su inclinación vale 0. Una recta vertical es un recta paralela al eje Y. la inclinación de una recta vertical es indefinida.

La parábola
Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano que son equilibrantes de un puntofijo F llamado foco y de una recta fija l denominada directriz situados en el plano.
Ejemplo.
Hallar el foco y la directriz de la parábola que tiene por ecuación Y ² = - 6X y trazar su grafica.

En consecuencia el foco y la ecuación de la directriz están dados por F (³/², 0) y X = ³/², respectivamente.
La elipse
Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tales que la suma de susdistancias a dos puntos fijos en el plano (los focos) es constante.
Ejemplo.
Representar la siguiente ecuación gráficamente. 4X ² + 18Y ² = 36
Para obtener la forma canónica del teorema tenemos que dividir ambos lados de la ecuación dada entre 36 y simplificar. Se obtiene así:
X ² Y ²
¯¯¯ + ¯¯¯ = 1
9 2
La cual esta en la forma citada con a ² = 9 y b = 2. Así, a = 3, b = V¯²¯; por...