Casos Especiales Del Metodo Simplex

Existen casos especiales que se encuentran a menudo en las aplicaciones del método simplex, los más importantes son:
1. Degeneración.
Un empate al elegir la variable que sale se rompe arbitrariamente. El problema ocurre en la siguiente iteración donde los valores de una o más variables básicas llegan a ser cero, en cuyo caso se dice que la solución es degenerada. En este punto no existe laseguridad de que el valor de la función objetivo mejorará, ya que la nueva solución óptima puede permanecer degenerada de ser así, es posible que las iteraciones del simplex entren en un circuito que repetirá las misma(as) sucesión de iteraciones sin alcanzar nunca la óptima.
El problema se conoce como ciclaje y afortunadamente raras veces se presenta en la práctica. En una situación de degeneraciónes esencial llevar las iteraciones del método simplex hasta que se satisfaga completamente la condición de optimidad.
EJEMPLO:
Maximizar
Sujeto a:

 
V. Básica | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Solución |
Z | 1 | -3 | -9 | 0 | 0 | 0 |
S1 | 0 | 1 | 4 | 1 | 0 | 8 |
S2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 4 |
Z | 1 | -3/4 | 0 | 9/4 | 0 | 18 |
X2 | 0 | 1/4 | 1 | 1/4 | 0 | 2 |
S2 | 0 | 1/2 | 0 | -1/2 | 1| 0 |
Z | 1 | 0 | 0 | 3/2 | 3/2 | 18 |
X2 | 0 | 0 | 1 | 1/2 | -1/2 | 2 |
S2 | 0 | 1 | 0 | -1 | 2 | 0 |
 

2. Soluciones óptimas múltiples.
Existen problemas que tienen más de una solución óptima. En este caso se dice que se tienen soluciones óptimas múltiples debido a que la solución óptima se encuentra en un segmento de recta que es acotado por una de las restricciones.
MaximizarSujeto a:

V. Básica | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Solución |
Z | 1 | -4 | -14 | 0 | 0 | 0 |
S1 | 0 | 2 | 7 | 1 | 0 | 21 |
S2 | 0 | 7 | 2 | 0 | 1 | 21 |
Z | 1 | 0 | 0 | 2 | 0 | 42 |
X2 | 0 | 2/7 | 1 | 1/7 | 0 | 3 |
S2 | 0 | 4/7 | 0 | -5/7 | 1 | 15 |
 

 

Nota: Si existe un cero en el primer renglón significa que hay soluciones óptimas múltiples.
V. Básica | Z | X1 | X2 | S1 | S2 |Solución |
Z | 1 | 0 | 0 | 2 | 0 | 42 |
X2 | 0 | 0 | 1 | 7/45 | -2/45 | 7/3 |
X1 | 0 | 1 | 0 | -2/45 | 7/45 | 7/3 |
 

3. Soluciones óptimas no acotadas.
Existen problemas para los cuales una o más de las variables pueden aumentarse indefinidamente mejorando en forma indefinida la función objetivo. En esta situación, se dice que la solución óptima no está acotada, por lo que la soluciónóptima es infinita.
Maximizar
Sujeto a:
 

 
V. Básica | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Solución |
Z | 1 | -2 | -1 | 0 | 0 | 0 |
S1 | 0 | 1 | -1 | 1 | 0 | 10 |
S2 | 0 | 2 | -1 | 0 | 1 | 40 |
Z | 1 | 0 | -3 | 2 | 0 | 20 |
X1 | 0 | 1 | -1 | 1 | 0 | 10 |
S2 | 0 | 0 | 1 | -2 | 1 | 20 |
Z | 1 | 0 | 0 | -4 | 3 | 80 |
X1 | 0 | 1 | 0 | -1 | 1 | 30 |
S2 | 0 | 0 | 1 | -2 | 1 | 20 |
 
Noexiste acotación para la variable. (Solución Optima no Acotada).Si es Acotada no tiene límite.
4. Soluciones factibles no existentes.
Existen problemas para los cuales no hay espacio de soluciones que cumplan con todas las restricciones. Este problema termina anotando que no existen soluciones factibles. Esta situación se identifica en la tabla del método simplex cuando se llega a la soluciónóptima y aún no desaparecen las variables artificiales.
Maximizar
Sujeto a:

 

V. Básica | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | S3 | R1 | Solución |
Z | 1 | -4 | -6 | 0 | 0 | 0 | -M | 0 |
S1 | 0 | 3 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 12 |
R1 | 0 | 3 | 5 | 0 | -1 | 0 | 1 | 30 |
S3 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 10 |
Z | 1 | -4+3M | -6+5M | 0 | -M | 0 | 0 | 30M |
S1 | 0 | 3 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 12 |
R1 |0 | 3 | 5 | 0 | -1 | 0 | 1 | 30 |
S3 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 10 |
Z | 1 | 1/ 2-3/4M | 0 | 3/2-5/4M | -M | 0 | 0 | 18+15m |
S1 | 0 | 3/ 4 | 1 | 1/ 4 | 0 | 0 | 0 | 3 |
R1 | 0 | -3/4 | 0 | -5/4 | -1 | 0 | 1 | 15 |
S3 | 0 | -3/4 | 0 | -1/4 | 0 | 1 | 0 | 7 |
 
No existen soluciones factibles del problema.
No existe ninguna combinación de valores de X1 y X2 que satisfagan todas...