Casquetes Cilindricos

EL METODO DE LOS CASQUETES CILÍNDRICOS

INTRODUCCION:

El método de los casquetes cilíndricos, proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de sólidos de resolución. También es un método de cálculo integral que permite evaluar los volúmenes. En ciertas situaciones es el único método viable. Pues en el método de las secciones transversales no siempre es fácil de aplicar y a vecesno puede aplicarse en absoluto.
Es importante entender bien la estructura geométrica involucrada en el método de los casquetes cilíndricos

EL METODO DE LOS CASQUETES CILÍNDRICOS

Es un método que consiste en dividir el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan los unos dentro de los otros y en integrar luego los volúmenes de estos casquetes para obtener elvolumen total.
Este método también es conocido como el de:
* Las “capas” cilíndricas.
* Los “cascarones” cilíndricos.
* Las “cáscaras” cilíndricas
* Las “envolturas” o “envolventes” cilíndricas.
En inglés: “cylindrical shells”
Antecedente:
El volumen de un casquete cilíndrico se calcula restando el volumen del cilindro interior al volumen del cilindro exterior:

Proceso:Debemos establecer como calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura H cuyo radio es r1 y cuyo radio exterior es r2.
Donde r = 1 / 2 (r2 + r1), el radio medio de los cilindros, y ∆r = r2 – r1, el grosor del casquete cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen de la forma siguiente:

Por lo tanto el volumen del casquete cilíndrico es:



El Problema General:
Hallar elvolumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje xy las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.

Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos todos del mismo ancho.
Sea xi* el punto medio del subintervalo i-ésimo.
Consideramos el  rectángulo Ri construido sobre el subintervalo i-ésimo con una altura de f (xi*).
Lo hacemos girar en torno del eje y.
Donde: Se produce un casquete cilíndrico que tiene como volumen:

Seponen n casquetes cilíndricos de éstos, los unos dentro de los otros.
Se suman todos sus volúmenes:

La aproximación al volumen del sólido será mejor entre más grande sea n, el número de casquetes cilíndricos.
Se puede mostrar que:

Regla General:
* El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y =f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral:

Ejemplos 1:
El método de las secciones transversales
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3.

Para calcular el volumen sepodría pensar en utilizar el método de las secciones transversales.
En este caso serían secciones horizontales.


Las secciones transversales son, en unas zonas del sólido, discos completos y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco.
Además es necesario expresar tanto el radio de los discos como el radio interior y exterior de las arandelas en funciónde la variable y, lo que no es fácil de lograr en este caso.

Ahora por metodo de los Casquetes Cilindricos:
Dividimos el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan los unos dentro de los otros.
La altura de los casquetes cilíndricos varía de acuerdo a la función(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1

La integral para el volumen es:

Ejemplo 2:
El volumen de un cono...