Castigliano

Vigas Hiperestáticas
A.J.M.Checa November 11, 2007
En el tipo de vigas que vamos a analizar en esta sección, el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones. Por tanto, hemos de buscar algún método que nos permita establecer tantas relaciones independientes, como ecuaciones necesitemos para calcular las reacciones. Las relaciones geométricas con el momento flector1 , o los Teoremasde Castigliano que explicaremos a continuación, son los métodos que utilizaremos para encontrar las ecuaciones necesarias para resolver las vigas hiperestáticas.

1

Teoremas de Castigliano

Sea un cuerpo elástico en R3 sobre el que actúan un conjunto de fuerzas generalizadas2 X1 , ..., Xn aplicadas sobre los puntos del sólido A1 , ..., An y llamamos UT (X1 , ..., Xn ) a la energía potencialelástica o potencial interno. Entonces la relación entre la deformación δi del punto Ai y Xi viene dada por : • I

δi =
• II

∂UT ∂Xi ∂UT ∂δi

(1)

Xi =
1

(2)

ecuación1 Las fuerzas generalizadas se refieren tanto a las fuerzas como a los momentos de las fuerzas. En el caso de las primeras, Xi = Fi , la deformación δi = yi es la distancia entre dos puntos, antes y después de ladeformación, como se muestra en la figura 1. Si Xi = Mi es un momento aplicado en i, entonces δi = dyi , es decir la tangente dx de la deformación en el punto de aplicación del momento.
2

1

Figure 1: deformación

1.1

Ejemplo 1: Sistema isoestático

En la figura 1 se muestra una viga de longitud L empotrada en su parte izquierda, y sometida a una carga F en su extremo. Vamos a calcular ladeformación inducida utilizando el primer teorema de Castigliano. • La energía potencial elástica almacenada en la viga puede calcularse mediante la expresión: ⁄ L M (x)2 dx UT = (3) 2EI x=0 • En este caso el momento flector es M (x) = F (x − L) • Según el primer teorema de Castigliano,

1 ∂UT δi = = ∂F EI
por lo que:

⁄ L
0

M (x)

∂M dx, ∂F

δi =
y por tanto la deformación δi = yies,

F EI

⁄ L
0

(x − L)2 dx

yi = −

F L3 3EI

2

2

Sistemas hiperestáticos

Se dice que un sistema tiene grado de hipersestaticidad G, cuando son necesarias G ecuaciones extras, además de las correspondientes a las condiciones de equilibrio3.

2.1
2.1.1

Sistemas de primer orden
Ejemplo 1

En la viga de la figura 2, el vínculo B introduce una nueva incógnita en elsistema de ecuaciones estáticas: ÿ F = 0 ⇒ Ra + Rb = ρo L, (4)

Figure 2: ejemplo 2
ÿ

x= L 2

M =0⇒

L (Rb − Ra ) − Ma = 0, 2

(5)

como se deduce del diagrama de cuerpo libre de la figura 3. Para calcular las reacciones en los vínculos, podemos volver a utilizar el primer teorema de Castigliano. En este caso podemos utilizar el desplazamiento o su derivada4. • Primer método; Ladeformación δi en A es igual a cero,
⁄ L

δi =
3

∂UT =0⇒ ∂Ra
N ÿ i=1

M

x=0

∂M dx = 0, ∂Ra

(6)

En equilibrio estático:

Fi = 0,

Si N + M es el número de ecuaciones independientes y V es el número de incógnitas (en nuestro caso, reacciones en vínculos), G = V − N − M . 4 En los empotramientos δe = 0 y ∂δe /∂x = 0

M ÿ j=1

Mj = 0,

3

Figure 3: DCL Esta última expresiónnos permite conocer una nueva relación entre las incógnitas (Ra , Rb , Ma ). Pero antes tenemos que calcular el momento flector y su deriva respecto a Ra en el único tramo de la viga. ρo x2 M (x) = Ma + Ra x − , (7) 2 ∂M (x) ∂Ma = + x, (8) ∂Ra ∂Ra La expresión 8, utilizando la relación 5 para conocer la derivada parcial de Ma respecto a Ra , queda como: 3 4 ∂M (x) L ∂Rb =x+ −1 , ∂Ra 2 ∂Ra y de 4,obtenemos:

∂M (x) = x − L, ∂Ra
⁄ L A
x=0

Por tanto, ya podemos integrar la expresión 6:

ρo x2 Ma + Ra · x − 2

B

(x − L) dx = 0,

de donde obtenemos:

Ra L ρo L2 =− , 3 12 Las relaciones 4, 5 y 9 permiten conocer las reacciones en los vínculos. Solicitación5 Ma +
⁄ L

(9)

• Segundo método; La derivada de la deformación también se anula en el empotramiento,

dδa ∂UT =...