teorema de castigliano

Teorema de Castigliano
“La componente de desplazamiento del
punto de aplicación de una acción sobre
una estructura en la dirección de dicha
acción, se puede obtener evaluando la
primeraderivada parcial de la energía
interna de deformación de la estructura
con respecto a la acción aplicada”.
∂w ∂  N 2

M2
V2
T2
∆P =
=
dx + ∫
dx + ∫
dx + ∫
dx 
∫
∂P ∂P  2 AE
2 EI
2G( A / α )
2GJ 


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Teorema de Castigliano
Tomando como referencia: we = 1/ 2 fi .Di

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Teorema deCastigliano

Ejemplo 1
Calcular la rotación en el punto medio (c) de la viga en voladizo.

∂w
M ∂M
θC =
=∫
dx
∂m
EI ∂m
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Teorema de CastiglianoSolución 1: corte 1-1
⌢
+∑ M

1
1

= 0;

M1 = −Px
∂M
=0
∂m

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Px + M1 = 0

Teorema de Castigliano

Solución 1: corte 2-2
⌢
+∑ M

22

= 0;

Px + m + M2 = 0

M 2 = − [ m + Px ]

∂M
= −1
∂m

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Teorema de Castigliano

Solución 1
1
θC =
EI

L
L 2



−Px )( 0 )dx + ∫ ( −Px )( −1) dx 
∫ (
0

L2



1 P  2 L2 
θC = ×  L − 
EI 2 
4

3PL2
θC =
8EI

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Ejemplo 2
Para la viga simplementeapoyada que soporta la carga lineal w,
determinar el valor de la deflexión en el centro de la luz.

∂w
M ∂M
∆c ↓=
=∫
dx
∂P
EI ∂P
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Solución 2
⌢
+ ∑1 = 0;
1

wx 2
 wL P 
−
+ × x +
+ M1
2
2
 2

wx 2
 wL P 
M1 = 
+ × x −
2
2
2


∂M 1
= x
∂P 2
2
∆C ↓=
EI

L2

∫
0

w 
 wL
x − x 2  ( 0.5 x ) dx
 22 


( )


L
 wL 2
∆C ↓= 2 
3
 4


3

w ( 2)
−
L

4

5wL3
∆C ↓=
384EI
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4

4







Ejemplo 3
Calcular el...