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Llicenciatura en Ci`ncies F´ e ısiques, UAB

PROBLEMES DE F´ ISICA ESTAD´ ISTICA
curs 2004-2005

Bibliografia
• R. Bowley, M. S´nchez, Introductory Statistical Mechanics (Oxford University Press, 1996). a • J. J Brey, J. de la Rubia, J. de la Rubia, Mec´nica Estad´ a ıstica (UNED Ediciones, 2001). • D. A. R. Dalvit, J. Frastai, I. D. Lawrie, Problems on Statistical Mechanics (Institute ofPhysics Publishing, 1999). • R. Kubo, Statistical Mechanics (North-Holland, 1990). • D. A. McQuarrie, Statistical Mechanics (University Science Books, 2000). • C. Fern´ndez Tejero, J.M. Rodr´ a ıguez Parrondo, 100 Problemas de F´ ısica Estad´ ıstica (Alianza Editorial, 1996).

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Introducci´: Utilitats Matem`tiques o a

1. El problema del viajante. Un viajante debe visitar N ciudades. ¿Cu´ntasposibilidades diferentes a que visiten todas las ciudades una sola vez existir´n? Particularizar para 5 ciudades. a 2. Un camarero ha de sentar a 7 personalidades alrededor de una mesa (redonda). Si no tiene ni idea de protocolo, (a) ¿de cu´ntas maneras lo podr´ hacer? Sol: 720. (b) ¿Y si sabe que Pujol y a a Maragall no pueden estar juntos? Sol: 480. (c) ¿Y si hubieran de estar juntos a lafuerza? Sol: 240. 3. Un estante contiene 4 libros de mates, 6 de f´ ısica y 2 de qu´ ımica, todos distintos. En un estropicio los tiramos todos al suelo. Hallar el n´mero de posibles ordenaciones si: (a) No existe ninguna u restricci´n. (b) Lo unico que sabemos es que los de cada tema estaban juntos. (c) Solamente los o ´ libros de mates estaban juntos, en principio. (d) ¿Y si los libros de cada temafueran id´nticos e (y en consecuencia indistinguibles)? Sol: (a) 479 001 600 (b) 207 360 (c) 8 709 120 (d) 13 860. 4. Una apuesta de la loter´ primitiva consiste en seleccionar 6 n´meros de 49. ¿Cu´l es el n´mero ıa u a u de combinaciones posibles? Sol: 13 983 816. ¿Y si importara el orden de los n´meros? Sol: u 10 068 347 520. ¿Y si adem´s se pudieran repetir los n´meros? Sol: 13 841 287 201. ¿Ysi se a u pueden repetir pero no importa el orden? Sol: 25 827 165. 5. Demostrar, usando combinatoria, la f´rmula del binomio de Newton: (a+b)n = o 6. La funci´ gamma es defineix com: o Γ(u) =
∞ 0 n k=0

n k

ak bn−k .

xu−1 e−x dx, amb u > 0.

(1)

Demostreu, integrant per parts, que Γ(u + 1) = uΓ(u), i per tant Γ(n + 1) = n! si n = 0, 1, 2, . . .. √ Trobeu, mitjan¸ant un canvi devariables apropiat, que Γ(1/2) = π. (Nota: se suposa ben c √ 2 ∞ conegut que −∞ e−x dx = π.)

√ 7. Obteniu l’aproximaci´ d’Stirling, N ! ∼ 2πN (N/e)N , per a N gran, integrant Γ(N + 1) pel o ∞ m`tode de Laplace. (Pista: escriure Γ(N + 1) com 0 eN g(x) dx i desenvolupeu per Taylor g(x) e al voltant del seu m`xim.) Avalueu num`ricament per a quina N l’aproximaci´ ´s raonablement a e oe bona. 8.Calculeu el volum d’una hiperesfera de radi R en un espai de n dimensions. (Pista: ∞ −(x2 +x2 +...+x2 ) dx dx · · · dx ens donar` la integral de l’angle s`lid). Sol: 2√π n Rn /[nΓ(n/2)]. n 1 2 a o 1 2 n −∞ e Per il.lustrar les propietats anti-intu¨ ıtives dels espais multidimensionals, avalueu la fracci´ de o l’espai ocupada pel la hiperesfera en comparaci´ amb un hipercub d’aresta 2R. Si incrementem oel radi de l’esfera en un factor 10−10 , quant s’incrementa el volum? Considereu n NA .

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Col.lectivitat Microcan`nica o

9. Un sistema rep 10−7 J en forma de calor. Si la seva temperatura ´s 30 K (i aquesta no canvia), e 14 calculeu en quin factor s’incrementa el n´mero de microestats accessibles. Sol: 1010 . I per a u 13 T = 300 K? Sol: 1010 . 10. Ens diuen que l’entropia de la radiaci´de cos negre ´s S = 4 σV 1/4 U 3/4 . Com creix el n´mero de o e u 3 microestats amb V i U ? Determineu la temperatura de la radiaci´ i escriviu l’energia en funci´ o o de la temperatura. Demostreu que pV = U/3. 11. Un sistema est` constitu¨ per N elements independents amb nom´s dos estats per a cada a ıt e element, A i B, amb energies εA i εB . Calculeu el n´mero d’estats, l’entropia, la...
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