certificado

Curso de Algebra Lineal (s´eptima versi´on, 2012).
Luc´ıa Contreras Caballero.
Depto. Matem´aticas. Fac. Ciencias.
Universidad Aut´onoma de Madrid.

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PROLOGO.
He escrito este curso tratando de expresar de la forma m´as sencilla posible los conceptos de a´lgebra
lineal, requiriendo solamente los conceptos previos de Bachillerato. Corresponde a los programas de
los dossemestres de primer curso de a´lgebra lineal de C.C. F´ısicas en la Universidad Aut´onoma de
Madrid. Despu´es ha sido ampliado para cubrir tambi´en los programas de los semestres de Algebra
Lineal y Algebra Lineal y Geometr´ıa de CC. Matem´aticas.
Aqu´ı se encontraban en la tercera versi´on, algunos trabajos originales de la autora: Una introducci´on geom´etrica a los determinantes, una demostraci´onsencilla de la regla de Cramer, demostraciones elementales del teorema de Jordan en dimensi´on 2, 3 y 4, la obtenci´on de la base de Jordan
en dimensi´on 2 y 3 y una aplicaci´on del espacio dual a la obtenci´on de condiciones necesarias y
suficientes para la diagonalizaci´on simult´anea de formas cuadr´aticas.
Tambi´en se encontraba una aplicaci´on del concepto de dimensi´on al c´alculo delrango de una
matriz y aplicaciones de la diagonalizaci´on de formas cuadr´aticas, y entre los ejercicios, aplicaciones de
la diagonalizaci´on de matrices y de su forma de Jordan a problemas de poblaciones. Y se explicitaban
el m´etodo de Gauss, el teorema de Rouch´e-Frobenius y el criterio de Sylvester. Otra aplicaci´on
interesante es la de la t´ecnica de las proyecciones al m´etodo de m´ınimoscuadrados.
En la cuarta versi´on he a˜
nadido otros trabajos tambi´en originales: condiciones necesarias y suficientes para detectar el car´acter de las formas cuadr´aticas degeneradas, una demostraci´on elemental
del teorema de Jordan general para endomorfismos, un m´etodo f´acil para hallar la forma de Jordan y
una demostraci´on de que el sentido f´ısico de la regla del sacacorchos delproducto vectorial coincide
con el sentido matem´atico de dicho producto vectorial.
En la quinta versi´on he a˜
nadido la din´amica de poblaciones. En la sexta versi´on he a˜
nadido un
cap´ıtulo de c´onicas y otro de cu´adricas. En la s´eptima version he a˜
nadido una ap´endice sobre el
espacio cociente.
El curso es autocontenido, con todas las demostraciones de los resultados y teoremasexpuestos
de forma l´ogica y rigurosa.
Intentando que los alumnos estudien los conceptos, se introducen motivaciones de los mismos y
se intercalan muchos grupos de ejercicios con dificultad progresiva. Algunos ejercicios se plantean de
forma que se puedan resolver de distintas maneras, lo cual permite al alumno la comprobaci´on de
sus resultados.
Tambi´en he intercalado dibujos que facilitan lacomprensi´on de los conceptos y de los razonamientos y ejemplos resueltos en los u
´ltimos cap´ıtulos.
Luc´ıa Contreras Caballero.
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´INDICE.
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NUMEROS
COMPLEJOS.
Introducci´on.
Regla de Ruffini para soluciones fraccionarias.
N´
umeros Complejos.
Inverso de un n´
umero complejo.
Propiedades de las soluciones de las ecuaciones.
Forma trigonom´etrica y forma polar de un n´
umerocomplejo.
Radicaci´on.
MATRICES. SUS OPERACIONES.
Introducci´on.
Operaciones en las matrices.
Tipos de matrices.
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´ DE GAUSS-JORDAN.
METODO
DE GAUSS Y REDUCCION
Introducci´on.
M´etodo de Gauss.
Operaciones elementales en una matriz.
Reducci´on de Gauss-Jordan.
Matrices Invertibles.
Caracterizaci´on de las matrices invertibles.
M´etodo de Gauss para obtener la inversa de una matrizinvertible.
DETERMINANTES y SISTEMAS de ECUACIONES.
Introducci´on.
Propiedades de los determinantes y operaciones elementales.
Definici´on de los determinantes.
Comprobaci´on de las propiedades.
Regla de Cramer sin utilizar la matriz inversa.
Caracterizaci´on de las matrices invertibles por su determinante.
Determinante del producto.
Desarrollo del determinante por una fila cualquiera y...