chi-2

1. Introducción
2. Prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado
3. El estadístico de Kolmogorov-Smirnov
4. Prueba de chi-cuadrado para el análisis de tablas de contingencia con dos criterios de clasificación
INTRODUCION
En este capítulo se examinarán pruebas de hipótesis en las que la característica que se desconoce es alguna propiedad de la forma funcional de la distribución que se muestrea.Además se discutirán pruebas de independencia de dos variables aleatorias en las cuales la evidencia muestral se obtiene mediante la clasificación de cada variable aleatoria en un cierto número de categorías. Este tipo de prueba recibe el nombre de bondad de ajuste. Para un tamaño específico del error de tipo I, la hipótesis nula será rechazada si existe una diferencia suficiente entre lasfrecuencias observadas y las esperadas.
La hipótesis alternativa es compuesta y a veces no suele estar identificada. El resultado es que la función potencia es difícil de obtener. En consecuencia, una prueba de bondad de ajuste no debe usarse por sí misma para aceptar la afirmación de la hipótesis nula.
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI-CUADRADO
Se utiliza para decidir cuando un conjunto de datos seajusta a una distribución dada
Considérese una muestra aleatoria de tamaño n de la distribución de una variable aleatoria X dividida en k clases exhaustivas e incompatibles, y sea Ni i = 1, 2, …, k. el número de observaciones en la i-ésima clase. Considérese la hipótesis nula
H0: F(x)=F0(x)
en donde el modelo de probabilidad propuesto F0(x) se encuentra especificado de manera completa, conrespecto a todos los parámetros.
Es posible, pues, calcular pi: probabilidad de obtener una observación en la i-ésima clase, bajo H0. Es obvio, también, que

Sea ni la realización de Ni para i = 1,2,…, k de manera que

La probabilidad de obtener de manera exacta ni observaciones en la i-ésima clase es

Dado que existen k categorías mutuamente excluyentes con probabilidades p1, p2, …, pk;entonces bajo la hipótesis nula la probabilidad de la muestra agrupada es igual a la función de probabilidad de una distribución multinomial determinada.

Para deducir una prueba estadística para H0, considérese el caso de k = 2. Este es el caso de la distribución binomial con x = n1, p = p1, n-x =n2 y 1-p =p2. Sea la variable aleatoria estandarizada:

para n grande, esta variable aleatoria sedistribuye según una N(0;1). Además sabemos que el cuadrado de una variable aleatoria N(0,1) se distribuye según una chi-cuadrado con un grado de libertad. Entonces el estadístico

Si se sigue este razonamiento, puede demostrarse que para k≥2 categorías distintas

Nótese que Ni es la frecuencia observada en la i-ésima clase y npi la esperada bajo la hipótesis nula.
Esta estadística recibe elnombre de prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada de Pearson.
Si existe una concordancia perfecta entre las frecuencias observadas y las esperadas, el estadístico tendrá un valor igual a cero; por otra parte si las discrepancias entre estas frecuencias son grandes, el estadístico tomará un valor, también muy grande. Por ello se desprende que para un valor dado del error de tipo I, la regióncrítica estará en el extremo superior la distribución chi-cuadrada con k-1 grado de libertad.
Una ventaja de la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada es que para valores grandes de n, la distribución límite chi-cuadrada de la estadística, es independiente de la forma que tenga la distribución F0(x) propuesta en la hipótesis H0. Como consecuencia de esto se tiene que la prueba de bondad se utilizatambién para distribuciones de probabilidad en las que F0(x) es continua. Sin embargo, debe insistirse en que la prueba de bondad es discreta, en el sentido de que ésta compara frecuencias que se observan y se esperan para un número finito de categorías.
De acuerdo con lo anterior, si F0(x) es continua, la prueba no compara las frecuencias que se observan aisladas con la función de densidad...