Chiavenato

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Matemática I

UNIDAD XII

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

1.

INTRODUCCIÓN Tal como se indicó anteriormente, la derivada de la función f determinado a, si existe, es: en un punto

f '(a )  lim

f (x )  f (a ) x a x a

Ahora bien, dada una función f, se define la función derivada de f, f ' como aquella función que a los números a para los cuales f es derivable les asignael valor de f '(a )

Es decir,

f ' a  f '(a ) 

Derivada de f (x )  x n , siendo n un número natural.

Si f (x )  x n con n   , entonces f '( x )  nx n 1 para todo x   .

En efecto, calculemos la derivada en un punto a cualquiera. Tendremos:

f '(a )  lim
x a

f (x )  f (a ) x n an  lim x a x a x a

Aplicando el método de Ruffini, obtenemos:

1 a


0 aa

0 a2 a2

0 a3 a3

... ... ...

0 a n-1 a n-1

an an 0

 n + 1 términos

1

141

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Luego:

f '(a )  lim
x a

(x  a )( x n 1  a .x n 2  a 2 .x n 3  ...  a n 1 ) x a

f '(a )  lim (x n 1  a .x n 2  a 2 .x n 3  ...  a n 1 )
x a

f '(a )  (a n 1  a .a n 2  a 2 .a n 3  ...  a n 1 )

f '(a )  (a n 1  a n 1a n 1  ...  a n 1 )  na n 1    
" n " veces

Ahora bien, como el resultado anterior es válido para cualquier a, la función derivada será f '( x )  nx n 1 , tal como queríamos demostrar. Ejemplo: Calcular la derivada de la función f ( x )  x 7 cualquiera. Luego, calcular dicha derivada para x  1 . Solución: para un x

Aplicando el resultado anterior, tenemos: f '( x)  7 x 6 .

En el caso de que x  1 , tendremos: f '(1)  7(1) 6  7 Nota: Con el uso de algunos métodos algebraicos y un poco del cálculo superior se logra demostrar que el resultado anterior es válido para cualquier n  . Ejemplo: cualquiera. Solución: Calcular la derivada de la función f ( x )  x 7 / 3 para un x

Teniendo en cuenta la nota anterior, tenemos:

f '(x ) 

7 x 3

4 /3.

En el caso de que x  2 , tendremos:

f '(2) 

73 4 7 3 14 3 2 2  2 2 3 3 3

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2.

REGLAS DE DERIVACIÓN 2.1 DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES Si las funciones f y g son derivables en un punto a, la función f + g también será derivable en el punto a, y se cumple que:
(f  g ) '(a )  f '(a )  g '(a ) .

En efecto, tendremos que:
(f  g)( x )  (f  g )(a ) f (x )  g (x )  f (a )  g (a )  lim x a x a x a

(f  g ) '(a )  lim
x a

(f  g ) '(a )  lim
x a

f (x )  f (a ) g (x )  g (a )  lim  f '(a )  g '(a ) x a x a x a

tal como queríamos demostrar. Ejemplo: Calcular la derivada de la función f ( x )  x 5  x 3 para un x cualquiera. Luego, calcular dicha derivada para x  2 . Solución: Tendremos: Porlo tanto:

f (x )  g (x )  h (x ) siendo g ( x )  x 5 y h (x )  x 3 f '(x )  g '(x )  h '(x ) .

Pero como:

g '(x )  5x

4

y

h '( x )  3x 2

Resulta que:

f '( x )  5x 4  3x 2 .

En el caso de que x  2 , tendremos:

f '(2)  5(2) 4  3(2) 2  80  12  92

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2.2

DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN Si fes una función derivable en a, la función g  c .f , donde c es una constante, también es derivable en el punto a, y se verifica que:

g '(a )  c f '(a ) .
En efecto, tendremos que:

g '(a )  lim

c f (x )  c f (a ) c (f (x )  f (a ))  lim x a x a x a x a f (x )  f (a )  c f '(a ) x a x a

g '(a )  lim c lim
x a

tal como queríamos demostrar. Ejemplo: Calcular laderivada de la función f (x )  3x 5 para un x Luego, calcular dicha derivada para x  4 . Solución Tendremos: f (x )  3g ( x ) siendo g ( x )  x 5 . cualquiera.

Así, pues: f '(x )  3g '( x )  3  5x

4

 15x 4 .

En el caso de que x  4 , tendremos:

f '(4)  15(4) 4  3840

2.3

DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES Si f y g son funciones derivables en un punto a, la función f  g...