CICLO CELULAR

Clases primera semana

OPERACIONES CON VECTORES
Un vector es un arreglo de la forma
u = u1 , u2 , ..., un
En donde las ui , i = 1, 2, ..., n son en general n´meros reales, y son llamadas las compou
nentes del vector . A un vector como en la forma anterior lo llamaremos n-tupla, n-ada o
simplemente ”vector con n componentes”.
Existen otras representaciones para vectores; como vectorescolumna, como vectores fila,
como vectores coordenados, en t´rminos de componetes, etc. En este curso usaremos la
e
notaci´n definida al principio. Si es necesaria otra notaci´n lo indicaremos en su momento.
o
o
El conjunto que contiene todas las n-tuplas se representa como
Rn = {u/u = u1 , u2 , ..., un ; ui ∈ R}
Cuando n = 2 al vector u = x, y se le llama par ordenado o vector bidimensional, yse
puede ver como un elemento del plano como muestra la Figura 1 a).
Cuando n = 3 al vector u = x, y, z se le llama tripleta o vector tridimensional, y se
puede ver como un elemento del espacio como muestra la Figura 1 b).

Figura 1: a) vector del plano , b) vector del espacio
1

Graficamente se puede representar un vector del plano y del espacio como se muestra en
la Figura 1. En dondeal vector p se le llama vector posici´n (tiene principio en el origen
o
de coordenadas). Al punto final del vector en cualquiera de los dos casos se le llama con
frecuencia vector coordenado.
Observaci´n
o
En el contexto del curso usaremos para u la representaci´n gr´fica de vector posici´n, es
o
a
o
decir, en la Figura la representaci´n que hace p, en algunas ocasiones usaremos la notaci´no
o
de punto ,vector coordenado, si la teor´ as´ lo requiere.
ıa ı
La Magnitud de un Vector
Para un vector u = u1 , u2 , ..., un de Rn , se define la magnitud del vector u como
u =

u2 + u2 , ..., u2
1
2
n

Para los casos particulares n = 2 y n = 3, tenemos
x2 + y 2

u =
donde u = x, y , y

x2 + y 2 + z 2

u =
donde u = x, y, z respectivamente.

La magnitud del vector utiene las siguientes propiedades
1. u ≥ 0
2. u = 0, si y solo si u = 0
3. Para v otro vector de Rn se cumple la desigualdad tri´ngular u + v ≤ u + v
a
Para los casos particulares u ∈ R2 y u ∈ R3 se tiene
u =

x2 + y 2

y
x2 + y 2 + z 2

u =

2

Observaciones
1. A la magnitud de un vector u definida como antes, que cumple las propiedades anteriores se le llama norma del vector u.2. La magnitud o norma de un vector en Rn define en este espacio una distancia, ´sta es
e
la medida del vector posici´n tomada desde el origen hasta el punto final ver Figura 1.
o
Ejemplo 1
Considere el vector u = 5, 3, 2 , encuentre la magnitud o norma del vector u.
Soluci´n
o
Deacuerdo a la definici´n que se tiene de magnitud o norma de un vector
o
u =

√

52 + 32 + 22 =

√

25 + 9+ 4 =

√

38.

Direcci´n de un vector
o

Figura 2: a) direcci´n en el plano ,
o

b) direcci´n en el espacio
o

Para un vector u en el plano, la direcci´n de u se define como el ´ngulo medido desde el
o
a
eje positivo de la x hasta el vector mismo, ver F´
ıgura 2 a). Si θ es la direcci´n del vector u
o
entonces θ est´ entre 0 y 360 grados inclusive.
a
3

Para un vector uen el espacio, la direcci´n de u se define tomando los ´ngulos del vector
o
a
con cada uno de los ejes coordenados x, y e z, siendo α, β y γ las medidas de estos ´ngulos
a
respectivamente. Ver F´
ıgura 2 b).
Los cosenos directores del vector u se definen como cosα, cosβ y cosγ, si u = x, y, z
entonces
cosα =

x
u

cosβ =

x
u

cosγ =

x
u

Operaciones con vectores
Productopor escalar
Sean un vector u de Rn , y un escalar α de R, se define el producto por escalar del vector
u y el escalar α como
αu = αu1 , αu2 , ..., αun

Figura 3: Efectos del producto escalar
Efectos
El producto escalar produce alargamientos o contracciones sobre el vector u, estos dependen del escalar que interviene en la operaci´n, esto es
o
4

1. Si α > 1, entonces el vector αu tiene...