ciencia

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

1

SISTEMA DE COORDENADAS
Demostrar que los puntos A = (0,1) y B = (3,5) ; C = (7,2) y D = (4,−2)
son los vértices de un cuadrado.
Solución:
!

AB =

9 + 16 = 25 = 5

!

BC =

16 + 9 = 25 = 5

!

AD =

9 + 16 = 25 = 5

!

CD =

16 + 9 = 25 = 5

Como :

ˆ

AB = BC = AD = CD = 5

ABCD es un cuadrado.

LQQD1

Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS

Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A = (−1,1) y
B = (3,1) . Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos).

Solución:
Sea C = (x,y ) el tercer vértice.
!

BC = AC

(x − 3)2 + (y − 1)2

!
=
!
!

De

ˆ

=

(x + 1)2 + (y − 1)2


→

"

BC = AB

(x − 3)2 + (y − 1)2

" y !:

(




= 16


→

!

x =1
y = 1± 2 3

C = 1,1 ± 2 3

)

Dados los puntos P1 = (2,−3) y P2 = (−1,2) encontrar sobre P1 P2 el
punto que diste doble de P1 que P2 .
Solución:
Sea P = (x,y ) el punto pedido.
! r=

!

P2P

=

2
=2
1

x + r x 2 2 + 2(− 1)
=
=
x= 1
1+ r
1+ 2
=

2

PP1

2−2 0
= =0
3
3

!

x=0

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

! y=y1 + r y 2 − 3 + 2 (2) − 3 + 4 1
=
=
=
1+ r
1+ 2
3
3

ˆ

 1
P = (x, y ) =  0, 
 3

!

y=

1
3

El lado de un rombo es igual a 5 10 y dos de sus vértices opuestos son
los puntos P = (4,9 ) y Q = (− 2,1) . Calcular el área de este rombo.
Solución:
PQ =

!

36 + 64 =

(

x 2 = 5 10

100 = 10

)2 − 5 2 = 250 − 25

!

x 2 = 225

!

x = 15

Luego ::
A =

D × d 30 × 10
=
= 150
2
2

!

A = 150 m 2

3

Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS

Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es
dividido en tres partes iguales por los puntos P = (2,2) y Q = (1,5 ) .
Solución:
! Cálculo de A = (x 1 ,y 1 ) :
! r=

!









ˆ

!

AP
PQ

=1
1 + x1
2

!

x1 = 3

y +5
2= 1
2

!y 1 = −1

2=

A = (3, − 1)

Cálculo de B = (x 2 ,y 2 ) :

! r=

ˆ

PQ
QB

=1 !









1=

2 + x2
2

!

x2 = 0

5=

2 + y2
2

!

y2 = 8

B = (0,8 )

La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto
M = (3, − 2 ) ; la proyección sobre el eje de abscisas es igual a −12 . Hallar

las coordenadas del otro extremo delsegmento, si forma con el eje de
ordenadas un ángulo dado.

4

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Solución:
! Si

AB = −12 ! x − 3 = −12

! Si

MN = 13

ˆ

!

!

x = −9

(x − 3 )2 + (y + 2)2

= 13

!

y = −7

N = (x, y ) = (− 9, − 7 )

Tres de los vértices de un paralelogramo son A = (− 1,4 ) , B = (1, − 1) y
C = (6,1) . Si la ordenada del cuarto vértice es 6.¿Cuál es su abscisa?

Solución:

Sea D = ( x ,6) el punto pedido.
!

AD = BC

!

(x + 1)2 + (6 − 4) 2

=

(6 − 1)2 + (1 + 1)2
5

Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS

Efectuando operaciones:
!

x 2 + 2x − 24 = 0






!

x1 = 4
x 2 = −6

Luego :
! D = ( x ,6 ) !

D = (4,6 )

El punto medio de cierto segmento es el punto M = (− 1,2 ) y uno de sus
extremoses el punto N = (2,5 ) . Hallar las coordenadas del otro extremo.
Solución:
Sea P = (x, y ) el punto pedido.
!

xM =

!

yM =

ˆ

x + xN
2
y + yN
2

! −1 =
!

2=

x+2
! x = −4
2
y+5
2

!

y = −1

P = (x, y ) = (− 4, − 1)

Los vértices de un triángulo ABC son A = (2, − 1) , B = (− 4,7 ) y C = (8,0 ) .
Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo.Solución:
Sabemos que :

6

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

!

x + x 2 + x3
x= 1
3

! x=

2−4+8
3

!

y + y 2 + y3
y= 1
3

! y=

− 1+ 7 + 0
6
! y= =2
3
3

ˆ

! x=

6
=2
3

G = (x, y ) = (2,2)

¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une los puntos
A = (1, − 1) y B = (4,5 ) en la dirección AB, para que su longitud se triplique?...